矩阵分析 2

\(\lambda\)矩阵

• \(\lambda\)矩阵：矩阵中的每一项都是关于\(\lambda\)的多项式的矩阵称为\(\lambda\)矩阵
• \(\lambda\)矩阵的秩：若\(A(\lambda)\)至少有一个\(r\)阶子式不是零多项式，并且所有的\(r+1\)阶子式都是零多项式，则称\(A(\lambda)\)的秩为\(r\)，记作\(\text{rank} A(\lambda)\)
• 可逆矩阵：\(A(\lambda)\)称作可逆矩阵，当且仅当存在\(B(\lambda)\)，使得\(A(\lambda) B(\lambda) = B(\lambda)A(\lambda) = I\)，并且，记\(B(\lambda) = A(\lambda)^{-1}\)
• 可逆矩阵的充要条件：\(A(\lambda)\)可逆，当且仅当\(|A(\lambda)|\)是一个非零常数
• 如果存在可逆矩阵\(P(\lambda), Q(\lambda)\)，使得\(B(\lambda) = P(\lambda) A(\lambda) Q(\lambda)\)，则称\(B(\lambda)\)与\(A(\lambda)\)相抵，记作\(A(\lambda) \simeq B(\lambda)\)

\(\lambda\)矩阵的标准形

• 每个\(A(\lambda)\)都相抵与一个Smith标准形，即

  \[A(\lambda) \simeq \text{diag} \{ d_1(\lambda), d_2(\lambda), ..., d_r(\lambda),0...0 \}\]

  其中\(d_i(\lambda)\)的首项系数为\(1\)，并且\(d_{i - 1}(\lambda) \mid d_i(\lambda)\)

  • 考虑多项式的辗转相除，并利用归纳法

不变因子，行列式因子，初等因子

• 不变因子：Smith标准形中的\(d_1(\lambda)\), \(d_2(\lambda)\), ..., \(d_r(\lambda)\)称为\(A(\lambda)\)的不变因子

• 行列式因子：\(A(\lambda)\)的所有\(k\)阶子式的最大公因式称为\(A(\lambda)\)的\(k\)阶行列式因子，记作\(D_k(\lambda)\)

• 初等因子：对于不变因子，不妨设\(d_i(\lambda) = \prod(\lambda - \lambda_j)^{r_{ij}}\)，那么\((\lambda- \lambda_j)^{r_{ij}}\)的全体称为初等因子

• example

  \[A(x) = \begin{pmatrix} -x+1 &x^2 & x \\ x& x &-x \\ x^2+1 & x^2 & -x^2 \end{pmatrix}\]

  的行列式因子为\(D_1(x) = 1, D_2(x) = x, D_3(x) = x^3+x^2\)

  而其不变因子为\(d_1(x) = 1, d_2(x) = x, d_3(x) = x^2(x+1)\)

  其初等因子则为\(x, x^2, (x+1)\)

• 相抵的矩阵有相同的秩和行列式因子

  • 只需要子式之间的整除关系即可

• 在Smith标准形下，行列式因子和不变因子之间的关系是容易得出的：\(D_i(\lambda) = D_{i-1}(\lambda)d_i(\lambda)\)，由此，我们得到结论：

  • 相抵的矩阵有相同的不变因子
  • 相抵的矩阵有相同的Smith标准形，有相同的Smith标准形的矩阵相抵
  • 一个矩阵的Smith标准形是唯一的

• 初等因子和不变因子之间，在知晓秩的情况下，存在一一对应，因此在相抵变换下，初等因子也是不变的

  • 如果用初等因子来描述相抵，那么将是：两个有相同的初等因子和秩的矩阵相抵

• 分块矩阵的初等因子是好求的：设\(A(\lambda) = \text{diag} \{ A_1(\lambda), A_2(\lambda), ..., A_m(\lambda)\}\)，则\(A_i(\lambda)\)的初等因子的全体的集合为\(A(\lambda)\)的初等因子

  • 考虑两个分块子矩阵的Smith标准形和原矩阵的Smith标准形之间的系数关系

若尔当标准形

• 若尔当块

  \[J(x, k) = \begin{pmatrix} x &1 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 0& x &1 & 0 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0&0&0&...&1\\ 0 & 0&0&0&...&x\end{pmatrix}\]

  考虑\(J(x, k)\)的特征矩阵

  \[\lambda I - J = \begin{pmatrix} \lambda - x & - 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 0& \lambda - x & -1 & 0 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0&0&0&...&-1\\ 0 & 0&0&0&...&\lambda - x\end{pmatrix}\]

  由于去掉左边\(k\)列和右边\(k\)列的主子式的绝对值为\(1\)，而\(|\lambda I - J| = (\lambda - x)^k\)

  因此，其行列式因子为\(D_1(\lambda) = ... = D_{k-1}(\lambda) = 1\)，而\(D_k(\lambda) = (\lambda - x)^k\)

  那么，其不变因子为\(d_1(\lambda) = ... = d_{k-1}(\lambda) = 1\)，而\(d_k(\lambda) = (\lambda - x)^k\)

  初等因子则只有\((\lambda - x)^k\)

• 若尔当标准形

  形如

  \[J = \begin{pmatrix} J_1 &&&\\ &J_2&& \\&&...& \\&&&J_n \end{pmatrix}\]

  的矩阵称为若尔当标准形，其中\(J_i\)为若尔当块

  由于\(J_i\)的初等因子只有\((\lambda - \lambda_i)^{k_i}\)，因此\(J\)的初等因子为\((\lambda- \lambda_i)^{k_i}\)的全体，并且\(\sum k_i = n\)

• 定理：矩阵\(A \sim B\)的充要条件是\(\lambda I - A \cong \lambda I - B\)

  这个定理的证明比较复杂，我们省去，关键在于利用\(\lambda I - A\)是关于\(\lambda\)的一次式进行次数限制

• 定理：每个\(A\)都与一个若尔当标准形\(J\)相似，并且这个若尔当标准形除了\(J\)中若尔当块的排列顺序外，被\(A\)所唯一决定

  • 由于\(|\lambda I - A|\)的次数为\(n\)，因此\(D_n(\lambda) = \prod (\lambda - \lambda_i)^{m_i}\)，其中\(\sum m_i = n\)

    由于\(D_n(\lambda) = \prod d_i(\lambda)\)，因此初等因子的次数的和应该等于\(D_n(\lambda)\)，也就是\(\lambda I - A\)的初等因子的次数的和为\(n\)

    不妨设\(\lambda I - A\)的初等因子为\((\lambda - \lambda_i')^{m_i'} (\sum m_i' = n)\)，对于每个\((\lambda - \lambda_i')^{m_i'}\)，存在若尔当块\(J_i\)，使得\(\lambda I - J_i\)以\((\lambda - \lambda_i')^{m_i'}\)作为初等因子

    将这些\(J_i\)组合在一起，得到一个若尔当标准形\(J\)

    \(\lambda I - J\)与\(\lambda I - A\)有相同的初等因子，并且秩相等，因此\(\lambda I - J \cong \lambda I - A\)，而且\(J\)是唯一确定的，由上一条定理知，\(A \sim J\)