矩阵分析 4

这一节来记一些乱七八糟的习题

\(AA^H\)和\(A^HA\)有相同的非零特征值

我们可以考虑特征值的定义的角度来证明这一点

设\(\lambda\)是\(AA^H\)的特征向量，\(x\)是对应的特征向量，即\(AA^Hx = \lambda x\)，由于\(\lambda, x \neq 0\)，因此\(\lambda x \neq 0\)，从而\(A^Hx \neq 0\)，那么由\((A^HA)(A^Hx) = \lambda(A^Hx)\)知，\(\lambda\)是\(A^HA\)的特征值，那么，\(AA^H\)的所有非零特征值都是\(A^HA\)的非零特征值，反过来也是如此，因此两者非零特征值的集合是相同的

下面，我们还需要证明两者的特征值的代数重复度相同，由于\(AA^H, A^HA\)都可对角化，我们只需要证明两者的几何重复度相同

设\(x_1, x_2, ..., x_n\)是对应于\(AA^H\)的特征值\(\lambda\)的线性无关的特征向量，由之前推导的对应关系，我们考虑证明\(A^Hx_1, A^Hx_2,...,A^Hx_n\)线性无关

设有\(\sum k_i A^H x_i = 0\)，那么\(\sum k_i (AA^H) x_i = 0\)，从而\(\lambda \sum k_ix_i = 0\)，因此\(k_1=k_2=...=k_n=0\)

对于\(n*n\)的复矩阵\(A\)，设\(\lambda_1, ..., \lambda_n\)为其\(n\)个特征值，那么\(\sum_{i=1}^n |\lambda_i|^2 \leq \sum_{1 \leq i, j \leq n} |a_{ij}|^2\)，当且仅当\(A\)是正规矩阵时取得等号

考虑Schur TH，存在酉矩阵\(U\)，使得\(A = U^HBU\)，其中\(B\)为上三角矩阵，并且对角线元素为\(A\)的特征值

注意到\(AA^H = U^HBB^HU\)，而\(tr(AA^H) = \sum |a_{ij}|^2\)，\(tr(BB^H) = \sum |b_{ij}|^2 \geq \sum |\lambda_i|^2\)，当且仅当\(B\)是对角矩阵时，取到等号

由于相似矩阵的特征多项式相同，那么他们将有相同的迹，因此\(\sum |a_{ij}|^2 = tr(AA^H) = tr(BB^H)\geq \sum |\lambda_i|^2\)，当且仅当\(A\)是正规矩阵时取得等号

设\(\sigma_1, ..., \sigma_n\)是\(A\)的奇异值，那么\(tr(A^HA) = tr(AA^H) = \sum_{i=1}^r \sigma_i^2\)

设\(M = AA^H\)，由上个定理证明过程，我们知道，只要证明\(M\)可酉对角化即可

由于\(M\)是埃尔米特矩阵，这是显然的

矩阵\(A\)的非零奇异值的个数是该矩阵的秩

我们知道\(rank(A) = rank(AA^H)\)，而对于\(AA^H\)而言，其酉相似于一个对角矩阵\(B\)，对角线上的元素为\(A\)的奇异值的平方，因此\(rank(AA^H)\)为\(A\)的非零奇异值的个数

设\(A\)为可逆埃米尔特矩阵，且\(A\)的谱分解为\(\sum \lambda_i x_i x_i^H\)，那么\(A^{-1} = \sum \lambda_i^{-1} x_ix_i^H\)

设\(X = \sum \lambda_i^{-1} x_ix_i^H\)，那么\(AX = \sum_{i, j} \lambda_i* \lambda_j^{-1} x_ix_i^H x_jx_j^H = \sum_{i} x_ix_i^H = \sum_{i, j} x_ix_j^H = UU^H = I\)

若\(A\)是正规矩阵，则\(A\)的奇异值就是\(A\)的特征值的模

由\(A\)是正规矩阵，\(A\)可酉对角化，因此\(A = U^H diag(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n) U\)

继而\(AA^H = U^H diag(|\lambda_1|^2, |\lambda_2|^2, ..., |\lambda_n|^2) U\)，那么\(|\lambda_1|^2, |\lambda_2|^2, ..., |\lambda_n|^2\)就是\(AA^H\)的特征值，从而\(|\lambda_1|, |\lambda_2|, ..., |\lambda_n|\)就是\(A\)的奇异值

酉矩阵特征值值的模都为\(1\)

由于\(x^Hy = x^HU^HUy = (Ux)^H(Uy)\)，对于酉矩阵\(U\)的特征值\(\lambda\)，我们对其特征向量\(x\)进行考察，那么\(x^Hx = (Ux)^HUx = \lambda^H \lambda x^Hx = |\lambda|^2 x^Hx\)，故\(|\lambda| = 1\)

若\(A\)是正规矩阵，且\(A\)的特征值的模为\(1\)，那么\(A\)为酉矩阵

直接运用上题的结论即可

两个正规矩阵相似的充要条件是两者的特征多项式相同

充分性：如果正规矩阵\(A, B\)的特征多项式相同，那么存在酉矩阵\(U_1, U_2\)，使得\(A = U_1^H \Lambda U_1, B = U_2^H \Lambda U_2\)，从而\(A = (U_1^{-1}U_2)^H \Lambda (U_1^{-1}U_2)\)，从而两者相似

必要性：相似矩阵有相同的特征多项式

若\(A\)为实矩阵，且\(A^TA = AA^T\)，那么\(A\)是对称矩阵

\(A\)满足正规矩阵的定义，因此有\(A = U^H \Lambda U\)，其中\(U\)为酉矩阵，\(\Lambda\)为特征值构成的对角阵

那么由\(A^H=A\)，\(A^H = A^T\)，我们得到\(A=A^T\)

正规矩阵\(A\)是埃尔米特矩阵，当且仅当\(A\)的特征值全为实数

”\(\Rightarrow\)“：显然

"\(\Leftarrow\)"：我们考虑矩阵\(A\)的谱分解，\(A = \sum_{i} \lambda_i x_ix_i^H\)，则有\(A^H = \sum_i \lambda_i^H x_i x_i^H = \sum_i \lambda_i x_ix_i^H = A\)

\(tr(xy^H) = y^Hx\)

取一组标准正交基，设出\(x, y\)在这组标准正交基下的坐标为，然后就不难看出了

特别的，如果我们令\(y = Ax\)，则有\(tr(Axx^H) = x^HAx\)

暂定