抽象代数

虽然在过去的博客中，对于这一门课的内容也记了很多东西，但还是新开一个博客，方便自己查阅一些定理吧

近世代数

群

week1

半群

如果\(X\)非空，并且有运算\(*\)满足

• 封闭性：\(\forall x, y \in X, x *y \in X\)
• 结合律：\((x * y) * z = x*(y*z)\)

则称\(\langle X, *\rangle\)为半群结构

幺半群

如果\(X\)以\(*\)构成半群，并且还满足

• \(\exist e \in X, \forall x \in X, x = ex=xe\)

则称\(e\)为单位元，\(X\)为幺半群

• 单位元是唯一的

逆元

如果\(ab = ba = e\)，则称\(a\)为\(b\)的逆元

• 每个元素的逆元是唯一的
• \((a^{-1})^{-1} = a\)
• 如果\(a, b\)可逆，那么\(ab\)也可逆，并且\((ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\)

群

如果\(X\)非空，并且有运算\(*\)满足

• 封闭性：\(\forall x, y \in X, x *y \in X\)
• 结合律：\((x * y) * z = x*(y*z)\)
• 单位元：\(\exist e \in X, \forall x \in X, x=x*e=e*x\)
• 可逆：\(\forall x \in X, \exists y \in X, x * y = y*x=e\)

则称\(X\)按\(*\)构成群

群的阶

如果群\(G\)里面只有有限个元素，那么称\(G\)为有限群，并且称\(G\)内元素的个数为群\(G\)的阶，记做\(|G|\)

交换群

如果\(\forall a, b \in G\)，有\(ab = ba\)，那么称群\(G\)为阿贝尔群或交换群

• 半群\(G\)是群，当且仅当：\(\forall a, b \in G\), 方程\(ax = b\)和\(ya = b\)在\(G\)中有解（可除性条件）

• 有限半群\(G\)是群，当且仅当：\(\forall a, x, y \in G\)，有\(ax = ay \Rightarrow x=y\)且\(xa=ya \Rightarrow x=y\)（消去律）

常见的群

集合\(X\)上的所有置换构成群，称为对称群，记为\(S(X)\)，特别的，\(S([n])\)简记为\(S_n\)

所有大小为\(n*n\)的可逆实矩阵构成群，称为一般线性群，记为\(GL_n(R)\)

所有大小为\(n*n\)的可逆实对角矩阵构成群，称为特殊线性群，记为\(SL_n(R)\)

week2

子群

设\(G\)按照\(*\)构成群，\(H\)为\(G\)的一个非空子集，并且\(H\)按照\(*\)也构成群，则称\(H\)为\(G\)的子群，并记为\(H \leqslant G\)

• \(H\)的单位元\(e_H\)就是\(G\)的单位元\(e\)

• \(a\)在\(H\)中的逆元\(a_H^{-1}\)就是\(a\)在\(G\)中的逆元\(a^{-1}\)

• 子群的判定

  • 如果\(H\)对乘法，求逆封闭，那么\(H\)为子群
  • 如果\(H\)对右除法封闭，即\(\forall a, b \in H\)时，有\(ab^{-1} \in H\)

• 群\(G\)的若干个子群的交也是\(G\)的子群

群的子集的乘积

设\(G\)为群，对于\(X, Y \subseteq G\)，定义

• \(X^{-1} = \{x^{-1}:x\in X\}\)
• \(XY = \{xy : x \in X \cap y \in Y\}\)

在上述条件下，我们有

• \((X^{-1})^{-1} = X\)
• \((XY)Z = X(YZ)\)
• \((X_1X_2...X_n)^{-1} = X_n^{-1}...X_2^{-1}X_1^{-1}\)

特别的，如果\(H\)是一个子群，那么

• \(H^{-1} = H\)
• \(HH = HH^{-1} = H^{-1}H = H\)

接着我们考虑单个元素和子集进行运算的情况，可以认为是集合运算的特例

• \(Hab = (Ha)b = H(ab)\)
• \((Ha)^{-1} = a^{-1}H^{-1}\)

子群的乘积

设\(H, K \leq G\)，则\(HK \leq G \Leftrightarrow HK=KH\)

子群的陪集

设\(G\)为群，\(H \leq G\)，对于\(a \in G\)，称\(aH = \{ah : h \in H\}\)为\(a\)所在的\(H\)的左陪集

称\(Ha = \{ha:h \in H\}\)为\(a\)所在的\(H\)的右陪集

• \(|Ha|=|aH|=|H|\)

• \(aH = bH \Leftrightarrow b^{-1}a \in H\)，可以考虑一般情况，\(hH = H \Leftrightarrow Hh = H \Leftrightarrow h\in H\)

子群的指标

• 设\(H\)为群\(G\)的子群，则\(|\{aH:a\in G\}| = |\{Ha : a \in G\}|\)（即左陪集的个数等于右陪集的个数）

如果\(H \leq G\)，我们称\(|\{aH : a \in G\}|\)为\(H\)在\(G\)中的指标，记为\([G:H]\)

Lagrange 定理

设\(H\)为有限群\(G\)的子群，则\([G:H]=|G|/|H|\)

• 设\(K \leq H \leq G\)，并且\([G:H]\)与\([H:K]\)有限，那么\([G:H][H:K]=[G:K]\)

  ! 注意，这条定理在证明时一定要通过映射来证明，不要通过Lagrange定理简单证明

• 设\(H, K \leq G\)，则\(|\{Hg:g\in G \cap Hg \subseteq HK\}| = [K:H \cap K]\)

  也即\(K\)中，\(H \cap K\)的分布和\(HK\)中，\(H\)的右陪集的分布是相似的

• Poincare定理：如果\(H_1, ..., H_n\)都是群\(G\)的指标有限的子群，那么\(\bigcap_{i=1}^n H_i\)的指标也有限，并且\([G:\bigcap_{i=1}^n H_i] \leq \prod_{i=1}^n [G:H_i]\)

• 设\(G\)为\(n\)阶群，那么\(\forall a \in G\)有\(a^n = e\)

群中元素的阶

设\(a\)为群\(G\)的元素，如果有正整数\(n\)使得\(a^n = e\)，那么，我们称最小的这样的正整数为\(a\)的阶，记为\(o(a)\)，特别的，如果\(\forall n \in Z, a^n \neq e\)，那么我们说\(a\)的阶为无穷，记为\(o(a) = \infty\)

• 设\(o(a) = n\)，则\(o(a^m) = \frac{n}{(m, n)}\)

有限生成群

对群\(G\)的非空子集\(X\)，由\(X\)生成的\(G\)的子群指

\(\langle X \rangle = \bigcap_{x \subseteq H \leq G} H = \{x_1^{m_1}x_2^{m_2}...x_k^{m_k} : k \in Z^{+}, x_i \in X, m_i \in \{1,-1\}\}\)

循环群

称\(\langle a \rangle\)为\(a\)生成的循环群，\(a\)称为这个群的一个生成元

• 如果\(o(a) = n\)，那么\(\langle a \rangle = \{e, a, a^2, ..., a^{n-1}\}\)

• 循环群的子群仍然是循环群

• 有限循环群的子群为\(\langle a^m \rangle, 0 \leq m \leq n\)，一共有\(\varphi(n)\)个

  具体的，对于\(d | n\)，有维一的\(d\)阶子群\(\langle a^{n/d} \rangle\)

• 无限循环群的子群为\(\langle a^n \rangle\)，当\(n\)不同时，这些子群也两两不同

• 设\(G\)为\(p^n\)阶群，则\(G\)中一定含有\(p\)阶元

• 素数阶群一定是循环群

共轭子群

设\(H \leq G\)，那么，\(\forall g \in G\)，\(gHg^{-1} \leq G\)，此时，我们称\(gHg^{-1}\)为与\(H\)共轭的子群

利用子群的判别条件：\(\forall x, y \in gHg^{-1}, \exists h_1, h_2, \;s.t.\; gh_1g^{-1} = x, gh_2g^{-1} = y\)，因此，\(xy^{-1} = gh_1g^{-1} * gh_2^{-1}g^{-1} = g(h_1h_2^{-1})g^{-1} \in gHg^{-1}\)

正规子群

设\(H \leq G\)，如果\(\forall g \in G\)，有\(gHg^{-1} = H\)，或者\(gH=Hg\)，那么，我们称\(H\)为\(G\)的正规子群，记为\(H \lhd G\)

• 正规子群的判定条件
  • 对任何的\(g \in G, h \in H\)，有\(ghg^{-1} \in H\)，或者说\(\forall g \in G, gHg^{-1} \subseteq H\)
  • 当\(a, b \in G\)时，\(\exists c, s.t. (aH)(bH) = cH\)

正规核

设\(H \leq G\)，则\(H_G = \bigcap_{g \in G} gHg^{-1}\)是被包含在\(H\)中的\(G\)的最大正规子群，称为\(H\)在\(G\)中的正规核

正规子群的交

对集合\(I \neq \emptyset\)，如果\(H_i \lhd G (i \in I)\)，那么\(H = \bigcap_{i \in I} H_i \lhd G\)

• \(H \leq K \leq G\)时，\(H \lhd G \Rightarrow H \lhd K\)

  在更小的范围内，正规子群仍然是正规子群

• \(H \lhd G\)且\(K \leq G\)时，\(HK=KH \leq G\)

  \(HK=KH\)可以利用\(H\)的正规性得到，而是子群则因为子群的乘积成子群的判定条件

商群

设\(H\)为群\(G\)的正规子群，那么

\[G/H = \{gH:g\in G\}\]

按照陪集的乘法形成群，称为按正规子群\(H\)形成的商群

同态

设\(\sigma : G \to \bar{G}\)，并且\(\forall a, b \in G\)，有

\[\sigma(ab) = \sigma(a)\sigma(b)\]

称\(\sigma\)是群\(G\)到\(\bar{G}\)的同态

• \(\text{Im} \sigma = \sigma(G) = \{\sigma(a) : a\in G\}\)，称为同态像

• \(\text{Ker} \sigma = \sigma^{-1}(\bar{e}) = \{a \in G: \sigma(a) = \bar{e}\}\)，称为同态核

• \(\sigma(e) = \bar{e}\)

• \(\sigma(a^{-1}) = \sigma(a)^{-1}\)

自然同态

设\(H \lhd G\)，令\(\sigma(a) = aH\)，那么\(\sigma\)是群\(G\)到商群\(G/H\)的同态，称为\(G\)到\(G/H\)的自然同态

自然同态满足

• \(\text{Im} \sigma = G/H\)，\(\text{Ker} \sigma = H\)

同构

如果同态\(\sigma\)是一个满射，那么称为满同态

如果同态\(\sigma\)是一个单射，那么称为单同态

如果同态\(\sigma\)是一个双射，那么我们称为同构，记为\(G \cong \bar{G}\)

week3

同态基本定理

设\(\sigma\)是\(G\)到\(\bar{G}\)的同态，那么

• \(\text{Ker} \sigma \lhd G\)
• \(\text{Im} \sigma \leq \bar{G}\)
• \(G/\text{Ker} \sigma \cong \text{Im} \sigma\)

自同构

设\(G\)为群，\(G\)到\(G\)的同构称为\(G\)的自同构

\(G\)的所有自同构的集合构成对称群\(S(G)\)的一个子群，称为自同构群\(\text{Aut} (G)\)

• 自同构群中的单位元是恒等变换\(I_G\)

• \(\sigma_g(x) = gxg^{-1} \in \text{Aut}(G)\)，因此共轭变换一定是一种自同构

内自同构

所有的共轭变换构成群称为内自同构群，记为\(\text{Inn}(G)\)

• \(\text{Inn}(G) \lhd \text{Aut}(G)\)

自同构群内所有不是自同构的同构，称为外同构

中心

称\(Z(G) = \{a\in G:\forall x \in G, ax = xa\}\)为群的中心，\(Z(G) \lhd G\)

• \(G/Z(G) \cong \text{Inn}(G)\)
  • 定义映射为\(f(a) = \sigma_a\)，这是一个同态，同态核为\(Z(G)\)，同态像为\(\text{Inn}(G)\)

群在集合上的作用

设\(G\)为群，\(X\)为非空集，如果\(\forall g \in G, x \in X\)，存在唯一的\(X\)中元与之对应（记为\(g * x\)），并且

• \(\forall x \in X, e*x=x\)
• \(\forall a, b \in G,x\in X, ab * x=a*(b*x)\)

那么说群\(G\)（左）作用在集合\(X\)上，\(*\)为群\(G\)在\(X\)上的作用

\(g*x\)有时可以简写为\(gx\)

• 也可以定义右作用，但通过定义左作用\(g*x\)为给定右作用运算\(x*g^{-1}\)的结果，可以将右作用转化为左作用

轨道

定义关系\(x \sim y\)，\(\exists g \in G, gx = y\)

• 关系\(x \sim y\)是一个等价关系

定义\(O_x = \{y \in X : x \sim y\} = \{gx:g\in G\}\)，称为\(x\)所在的轨道

• \(O_x\)就是\(x\)所在的按照\(\sim\)划分的等价类

稳定化子

\(\text{Stab}(x) = \{g\in G:gx=x\}\)称为\(x\)的稳定化子

作用核

\(\text{Ker}(X) = \{g \in G :\forall x \in X, gx = x\}\)

• \(\text{Ker(X)} = \bigcap_{x \in X} \text{Stab}(x)\)

轨道-稳定化子定理

一个被名词堆起来的定理

设\(G\)作用在非空集\(X\)上，那么

• \(\text{Stab}(x) \leq G\)
• \([G:\text{Stab}(x)] = |O_x|\)

证明时，考虑映射\(f(gx) = g *\text{Stab}(x)\)

嵌入

如果\(G\)和\(\bar{G}\)的一个子群同构，那么我们称\(G\)可嵌入到\(\bar{G}\)中

• 设群\(G\)作用在集合\(X\)上，那么\(\text{Ker}(X) \lhd G\)，并且\(G/\text{Ker}(X)\)可嵌入到对称群\(S(X)\)中
  • 考虑映射\(\sigma_g(x) = gx\)，可以证明\(\sigma_g(x) \in S(X)\)，考虑映射\(f(g) = \sigma_g\)，这就是一个从\(G\)到\(S(X)\)的同态

Cayley定理

群\(G\)可嵌入到对称群\(S(G)\)中

week4

共轭

所有的共轭变换可以看成是一种\(G\)到\(G\)的作用，称为共轭作用

在共轭作用下，\(x\)所在的轨道，称为\(x\)所在的共轭类\(C(x) = \{gxg^{-1}:g\in G\}\)

中心化子

称\(C_G(x) = \{g \in G : gx = xg\}\)为\(x\)的中心化子

• \(C_G(x) \leq G\)（共轭作用下\(x\)的稳定化子）
• \([G:C_G(x)] = |C(x)|\)（\(C(x)\)即轨道的大小）

陪集的群作用

对\(H \leqslant G\)，记\(X = \{xH:x\in G\}\)，定义\(G\)在\(X\)上的作用\(g * xH = gxH\)

• 此时，\(Ker(X) = H_G = \bigcap xHx^{-1}\)
• 因此\(G / H_G\)可嵌入到\(S(X)\)中

p相关的定理

设\(H \leqslant G\)，且\([G:H]\)是\(|G|\)的最小素因子\(p\)，那么\(H \lhd G\)

• \(G/H_G\)可嵌入到\(S(X)\)中，而\(|S(X)| = [G:H]!\)，因此\(|G/H_G| \mid [G:H]!\)，又\([G/H_G] = [G/H] * [H/H_G]\)，因此\([H/H_G] \mid ([G:H]-1)! = (p-1)!\)，又\(|H/H_G| \mid |H|\)，从而\(|H/H_G| \mid |G|\)，从而证明\(|H/H_G| = 1\)
• 证明正规，可以尝试证明\(|H/H_G| = 1\)

不动点

记\(Fix(g) = \{x\in X:gx=x\}\)，称为\(g-\)不动点

再记\(Fix(G) = \bigcap_{g \in G} Fix(g)\)，称为其中的元素为不动点

Burnside引理

设有限群\(G\)作用在有限非空集\(X\)上有\(N\)个不同的轨道，那么

\[N = \frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} |Fix(g)|\]

• 双计数，计算\(\{(g, x):g\in G, x \in X, gx = x\}\)的个数

不动点定理

设有限群\(G\)作用在有限非空集\(X\)上，则\(X\)中非不动点个数可以表示为\(|G|\)的一些大于\(1\)的因子之和

• 考虑类方程\(|X| = \sum |O_x|\)，而\(|O_x| = [G:\text{Stab}(x)]\)

p-群

对于素数\(p\)及自然数\(n\)，阶为\(p^n\)的群称为\(p-\)群

• \(p-\)群\(G\)作用在\(X\)上时，那么\(|X| \equiv |Fix(G)|(mod\;p)\)，特别的，当\(p \nmid |X|\)时，\(X\)中一定存在不动点

• \(p-\)群\(G\)一定有非平凡的中心，也即\(Z(G)\)中一定有非单位元

• \(p^2\)阶群\(G\)一定是Abel群

  • 尝试证明\(Z(G) = G\)，由上，只需证明\(Z(G) \neq p\)即可，而\(Z(G)=p\)时，\(G/Z(G)\)中将有生成元\(aZ(G)\)，用\(aZ(G)\)表示\(G\)中的元素，来证明他们可交换吧!

正规化子

设\(H \leqslant G\)，那么\(N_G(H) = \{g \in G : gH = Hg\}\)称为\(H\)在\(G\)中的正规化子

• \(N_G(H)\)是使得\(H\)在其中正规的\(G\)的最大子群（若\(H \lhd K\)，那么\(K \leqslant N_G(H)\)）

• \([G:N_G(H)] = |\{gHg^{-1} : g\in G\}|\)

  • 定义群作用\(G\)作用在\(\{aHa^{-1}:a\in G\}\)上，\(g*aHa^{-1} = (ga)H(ga)^{-1}\)，右边是\(O_H\)，\(N_G(H)\)是\(\text{Stab}(H)\)

week5

西罗p-子群

对于有限群\(G\)和素数\(p\)，如果\(G=p^a * m\)，其中\(p\nmid m\)，那么大小为\(p^a\)的\(G\)的子群称为西罗p-子群

• 如果\(P \leqslant H \leqslant G\)，且\(P\)是\(G\)的西罗p-子群，那么\(P\)也是\(H\)的西罗p-子群

西罗第一定理

有限群\(G\)一定存在西罗p-子群

设\(n = p^a * b\)，证明时，考虑群\(G\)作用在集合\(X = \{S \subseteq G : |S| = p^a\}\)

首先，注意到\(p \nmid |X|\)；其次，注意到\(|X| = \sum |O_x|\)，因此存在\(x\)，使\(p \nmid O_x\)

任取\(S \in O_x\)，那么\(H=\text{Stab} (S) \leqslant G\)，并且\([G:H] = |O_x|\)，因此\(p \nmid [G:H]\)

由于\(|G|=[G:H]*|H|\)，因此\(p^a | \;|H|\)，故\(|H| \geq p^a\)

同时，取\(s \in S, h \in H\)，有\(hs \in hS=S\)，从而\(Hs \subseteq S\)，那么\(|H|=|Hs| \leqslant |S| = p^a\)

西罗第二定理

设\(P\)为有限群\(G\)的任意一个西罗p-子群，那么\(G\)的任意一个西罗p-子群\(P'\)都被包含在\(G\)的某个与\(P\)的共轭的子群中。特别的，\(G\)的所有西罗p-子群形成一个子群共轭类。

考虑将\(P'\)作用在集合\(X = \{gP:g \in G\}\)上，由于此时是p-群作用，并且\(p\nmid|X|=|G|/|P|\)，那么存在着不动点\(gP\)

对这个不动点进行考虑，\(\forall x \in P', xgP = gP\)，因此\(x \in gPg^{-1}\)，因此\(P' \subseteq gPg^{-1}\)

注意到大小的限制，因此对于任意的西罗p-子群\(P, P'\)，存在\(g \in G\)，使得\(P'=gPg^{-1}\)

• 推论：设西罗p-子群\(P\)，那么\(P \lhd G\)的充要条件是\(P\)是\(G\)中唯一的西罗p-子群

西罗第三定理

设\(n = p^a * b(p \nmid b)\)，设\(n_p\)表示西罗p-子群的个数，那么

• \(n_p \mid b\)
• \(n_p \equiv 1(\text{mod} \;p)\)
• 设\(P\)为任一个西罗p-子群，那么\(n_p = [G:N_G(P)]\)

首先是第三条和第二条，由西罗第二定理和前文的结论，\(n_p = |\{gPg^{-1} : g \in G\}| = [G:N_G(P)]\)

由于\(P \leqslant N_G(P) \leqslant G\)，那么\([G:P]=[G:N_G(P)]*[N_G(P):P]\)，因此\(n_p \mid [G:P]=b\)

将群\(P\)作用在集合\(X = \{gPg^{-1}:g\in G\}\)（所有的西罗p-子群）上，\(x*gPg^{-1} = (xg)P(xg)^{-1}\)

考虑不动点，如果\(x \in P, g \in G\)满足\(x * gPg^{-1} = gPg^{-1}\)，那么\((g^{-1}xg)P = P(g^{-1}xg)\)

因此如果\(gPg^{-1} \in X\)构成不动点，那么\(g^{-1}Pg \leqslant N_G(P)\)

由于\(P \leqslant N_G(P) \leqslant G\)，因此\(P\)也是\(N_G(P)\)的西罗p-子群，并且由正规化子的性质\(P \lhd N_G(P)\)

那么根据西罗第二定理的推论，\(P\)是唯一的不动点，那么\(n_p \equiv |X| \equiv |Fix(P)| \equiv 1(\text{mod}\;p)\)

Frattini引理

设\(H\)为群\(G\)的有限正规子群，\(P\)是\(H\)的西罗p-子群，那么\(G=HN_G(P)\)

也就是说，一个群可以由正规子群和其西罗p-子群的正规化子相乘来生成

• 设\(P\)为\(G\)的西罗p-子群，那么\(N_G(N_G(P))=N_G(P)\)

  更一般地，\(N_G(P) \leqslant H \leqslant G\)时，\(N_G(H)=H\)

西罗定理的应用

• 设\(p, q\)为不同素数，并且\(p \not \equiv 1 (mod\;q), q \not\equiv 1(mod\;p)\)，那么\(pq\)阶群为循环群
• 设\(p,q\)为不同素数，\(G\)为\(p^2q\)阶群，那么\(G\)有\(p^2\)阶或\(q\)阶正规子群
• 设\(p,q,r\)为不同素数，对\(pqr\)阶群\(G\)，满足\(G\)有\(p\)阶或\(q\)阶或\(r\)阶的正规子群

单群

对不平凡的群\(G(G \neq \{e\})\)，如果\(G\)中没有异于\(\{e\}\)和\(G\)的正规子群，那么我们称\(G\)为单群

• Abel单群一定是素数阶循环群

同构定理 / 第一同构定理

设\(\sigma\)为群\(G\)到\(G^*\)的同态，那么

• \(G\)中包含\(\ker \sigma\)的子群和\(\sigma(G)\)的子群之间存在一一对应关系\(H \to \sigma(H)\)

  \(\{H \leq G:\ker \sigma \subseteq H\}\)和\(\{M:M\leq \sigma(G)\}\)之间存在一一对应

• 如果\(\ker \sigma \subseteq H\)，\(H \leq G \Rightarrow \sigma(H) \leq \sigma(G)\)

• 如果\(\ker \sigma \subseteq H, H \leq G\)，那么\(H \lhd G \Leftrightarrow \sigma(H) \lhd \sigma(G)\)

• 如果\(\ker \sigma \subseteq H\)，\(H \lhd G\)，那么\(G/H \cong \sigma(G)/\sigma(H)\)

证明的一些简略提示：\(\sigma(a) \in \sigma(H) \Leftrightarrow a \in H\)

那么\(H = \{a:a \in H\} = \{a:\sigma(a) \in \sigma(H)\}\)，利用该性质，可以推出映射为单射，满射容易验证

对于第二条，\(\sigma(a)\sigma(b)^{-1} = \sigma(ab^{-1}) \in \sigma(H)\)可以验证

对于第三条，\(ghg^{-1} \in H \Leftrightarrow \sigma(g)\sigma(h)\sigma(g^{-1}) \in \sigma(H)\)

最后一条，考虑映射\(f(aH) = \sigma(a)\sigma(H)\)即可

同构定理补充

这里上课没讲，但我感觉很有用

我们不妨定义\(\sigma^{-1}(H^*) =\{g \in G: \sigma(g) \in H^*\}\)

• 如果\(\ker \sigma \subseteq H\)，那么\(\sigma^{-1}(\sigma(H)) = H\)

  \(H \subseteq \sigma^{-1}(\sigma(H))\)易证，考虑证明另一个方向

  \(x \in \sigma^{-1}(\sigma(H)) \Leftrightarrow \exists h \in H, \sigma(x)=\sigma(h) \Leftrightarrow \exists h \in H,\sigma(xh^{-1}) = e^* \Leftrightarrow x \in (\ker \sigma) H=H\)

• 根据第一同构定理，上面的定理还可以写为，如果\(H^* \leq G^*\)，那么\(\ker \sigma \leq \sigma^{-1}(H^*) \leq G\)

• 如果\(H^* \leq K^* \leq G^*\)，那么\(\sigma^{-1}(H^*) \leq \sigma^{-1}(K^*) \leq \sigma^{-1}(G^*) = G\)

第一同构定理 / 第二同构定理 / 第三同构定理

设\(K \lhd G\)，那么

• \(G\)中包含\(K\)的子群和\(G/K\)的子群之间存在一一对应关系\(H \to H/K\)
• 如果\(K\subseteq H\)，\(H \leq G \Rightarrow H/K \leq G/K\)
• 如果\(K \subseteq H, H \leq G\)，那么\(H \lhd G \Leftrightarrow H/K \lhd G/K\)
• 如果\(K\subseteq H\)，\(H \lhd G\)，那么\(G/H \cong (G/K)/(H/K)\)

我们考虑从\(G\)到\(G/K\)的自然同态\(\sigma\)，只需要证明\(\ker \sigma = K, \sigma(G)=G/K, \sigma(H)=H/K\)即可

我们只考虑最后一个，即\(\sigma(H)=\{hK:h\in H\} = H/K\)

week6

有些地方会指明\(\lhd\)不含相等的情况，但本文中默认可以相等，如果需要指代不相等时，作特殊说明

Galois定理

设\(p\)为素数，那么对p-群\(G\)，对于\(i = 0,...,n\)，存在\(G\)的\(p^i\)阶的正规子群\(H_i\)，使得

\[\{e\} = H_0 \lhd H_1 ... \lhd H_n = G\]

证明时，注意到条件等价于\(H_0 \subseteq H_1 ... \subseteq H_n = G\)

之后归纳，对阶为\(p\)的群\(H\)，考虑其商群\(G^* = G/H\)形成的正规子群列\(G_0^*, G_1^*,...,G^*\)，按照之前的同构定理的结论，如果\(G_i^* \subset G_{i+1}^*\)，那么\(\sigma^{-1}(G_i^*)\subset \sigma^{-1}(G_{i+1}^*)\)，设出\(\sigma^{-1}(G_i^*)\)就差不多证完了

第二同构定理 / 第三同构定理 / 第四同构定理

设\(G\)为群、，\(H \lhd G\)且\(K \leq G\)，那么\(H\cap K \lhd K\)，并且\(K/(H \cap K) \cong HK/H\)

设出同构\(\sigma(k) = kH(K \to G/H)\)，然后证明\(\ker \sigma = H \cap K\)，\(\Im \sigma = HK/H\)

• 设\(H\lhd G\)，且\([G:H]\)有限，那么对\(K \leq G\)，有\([K:H\cap K] \mid [G:H]\)

  这个定理是老师的私货...

  由第二同态定理，\(K/(H\cap K) = HK / H\)，因此\([K:H \cap K] = |HK/H|\)

  此时，\(HK=KH\)构成一个子群，且\(H \subseteq HK\)，由第一同态定理和Lagrange定理，因此\([HK/H] \mid [G/H]\)

次正规子群

由于正规性并不满足传递性，因此我们考虑研究一种和正规性差不多，但具有传递性的玩意

设\(H \leq G\)，那么称\(H\)在\(G\)中次正规，当且仅当存在有限个子群\(H_0,...,H_n\)，使得

\[H=H_0 \lhd H_1 \lhd H_2 ... \lhd H_n = G\]

• 如果\(H\)在\(K\)中次正规，\(K\)在\(G\)中次正规，那么\(H\)在\(G\)中次正规

• 设\(H\)在\(G\)中次正规，那么

  • 对\(K \leq G\)，\(H \cap K\)在\(K\)中次正规
  • 对\(K \leq G\)，如果\([G:H]\)有限，有\([K:H\cap K] \mid [G:H]\)

  不难看出，这个性质是上面性质的一个加强

  在次正规的情况下进行证明，可以利用性质\([H_{i+1} \cap K: H_i \cap K] \mid [H_{i+1} : H_i]\)（在第二同态定理中，令\(G = H_{i+1}, H = H_i, K = H_{i+1} \cap K\)）

• 设\(H_1,...,H_k\)为群\(G\)的次正规子群，那么\(\bigcap_{i=1}^k H_i\)也是\(G\)的次正规子群

  如果\(\forall 1 \leq i \leq k, [G:H_i]\)有限，那么\([G:\bigcap_{i=1}^k H_i] \mid \prod_{i=1}^k [G:H_i]\)

  利用上一条性质，归纳证明

正规群列

设\(G\)为群，称满足\(\{e\} = G_0 \lhd G_1 \lhd ... \lhd G_n=G\)，并且\(G_i\)两两不同的子群列为正规群列

\(n\)称为正规群列的长度

称\(G_1/G_0, G_2/G_1..., G_n/G_{n-1}\)为该正规群列相应的商群列

正规群列的等价

称\(G\)的两个正规群列\(G_0 \lhd G_1 ... \lhd G_n\)和\(H_0 \lhd H_1 ... \lhd H_m\)等价，当且仅当

• \(n = m\)
• 存在长为\(n\)的置换\(\sigma\)，使得\(\forall i, G_i / G_{i-1} \cong H_{\sigma(i)} / H_{\sigma(i-1)}\)

注意定义中的商群列需要调顺序，这个道理跟\(6=2*3=3*2\)这两种分解等价差不多

正规群列的加细，合成群列

对正规群列\(G_0 \lhd G_1 ... \lhd G_n(1)\)和\(H_0 \lhd H_1 ... \lhd H_m(2)\)，如果\(\{G_0,G_1,...,G_n\} \subseteq \{H_0,H_1,...,H_m\}\)，那么称\((2)\)是\((1)\)的加细（细分）

如果一个正规群列没有除了自己以外的加细，则称其为一个合成群列

• 设\(H \lhd G\)，那么\(H\)为\(G\)的极大正规子群，当且仅当\(G/H\)为单群

  由第一同构定理，\(H \leq K \lhd G\)，当且仅当\(K/H \lhd G/H\)

• 正规群列\(G_0 \lhd G_1 ... \lhd G_n\)为合成群列，当且仅当\(G_1/G_0,...,G_n/G_{n-1}\)为单群

• 有限群\(G\)一定有合成群列

Jordan-Holder定理

设群\(G\)有合成群列，那么

• \(G\)中的每个正规群列可以加细成合成群列
• \(G\)中任意两个合成群列等价

换位子

设\(G\)为群，对\(x, y \in G\)称\([x, y] = (yx)^{-1}xy =x^{-1}y^{-1}xy\)为\(x\)与\(y\)的换位子

• \([x, y] = e \Leftrightarrow xy = yx\)
• \([x,y]^{-1} = [y,x]\)
• \(g[x,y]g^{-1} = [gxg^{-1}, gyg^{-1}] = [xg^{-1},y][y,g^{-1}]\)

导群 / 换位子群

称所有换位子生成的子群，\(\langle [x, y]:x, y \in G \rangle\)，为群\(G\)的导群，记为\(G'\)，也称为换位子群

• \(G' = \{e\} \Leftrightarrow G\)是Abel群
• 设\(H \lhd G\)，则\(H' \lhd G\)
  • 只需要证明\(gH'g^{-1} \subseteq H'\)，注意到\(g[h,k]g^{-1} = [ghg^{-1}, gkg^{-1}] \in H'\)，以及若\(x=\prod[h_i, k_i]\)，则\(gxg^{-1} = \prod g[h_i, k_i]g^{-1} \in H'\)
  • 特别的，如果\(H=G\)，那么\(G' \lhd G\)
• 如果\(H \leq K\)，那么\(H' \leq K'\)

最小正规子群

设\(G\)为群，则导群\(G'\)是使得\(G/H\)为Abel群的\(G\)的最小正规子群

即证明，如果\(H \lhd G\)且\(G/H\)为Abel群，那么\(G' \leq H\)

考虑\(\sigma:G\to G/H\)，群为Abel群，当且仅当\(G' \leq \ker \sigma\)

• 这个定理也可以表明，如果\(H \lhd G\)满足\(G' \leq H\)，则\(G/H\)为Abel群
• 特别的，如果\(H=G'\)，那么\(G/G'\)为Abel群

高阶导群

设\(G\)为群，记\(G^{(0)}=G, G^{(1)}=G', ..., G^{(n+1)}=(G^{(n)})'\)

称\(G^{(n)}\)为\(G\)的\(n\)阶导群

• \(G^{(n)} \lhd G\)，且\(H \lhd G\)时，\((G/H)^{(n)} = G^{(n)}H/H\)
  • 注意到\(G^{(n)}H=HG^{(n)}\)，因此\(G^{(n)}H\)构成子群，且\(H\)在其中正规
  • 证明时，利用归纳法，可以利用\(\langle [x,y]H:x, y \in G^{(n)}\rangle = \langle gH:g\in (G^{(n)})'\rangle\)

导列

称\(G = G^{(0)} \rhd G^{(1)} ... \rhd G^{(n)} \rhd ...\)为群\(G\)的导列

使得\(G^{(n)}=G^{(n+1)}\)的最小自然数\(n\)称为\(G\)导列的长度

可解群与Abel列

如果群\(G\)有子群列，使得\(G=G_0 \rhd G_1 \rhd ... \rhd G_n = \{e\}\)，且\(G_0/G_1, G_1/G_2, ..., G_{n-1}/G_n\)为Abel群，则称\(G\)为可解群，并称这样的子群列为Abel列

• 设\(G\)为群，则\(G\)为可解群，当且仅当存在\(n \in N\)，使得\(G^{(n)} = \{e\}\)
  • 利用\(G/G'\)为Abel群，可以证明一个方向
  • 对于另一个方向，我们证明\(G^{(i)} \leq G_i\)，归纳，利用导群的性质即可
• Abel群是可解群

可解单群

可解单群就是素数阶循环群

注意到\(G' \lhd G\)，且\(G' \neq G\)，由单群的性质\(G'=\{e\}\)，因此\(G\)为Abel单群，从而是素数阶循环群

可解群的子群与商群

设\(G\)为可解群

如果\(H \leq G\)，则\(H\)可解

如果\(H \lhd G\)，那么\(G/H\)也可解

这也就是说，可解群的子群和商群都是可解的

• 从导群的角度出发，利用\(H^{(n)} \leq G^{(n)}\)，以及\((G/H)^{(n)}=G^{(n)}H/H\)来证明

• 我尝试从Abel列的角度出发来证明，这依赖于下面的引理

  • 设\(H, K, L \leq G\)，如果\(H \lhd K\)，那么\(H \cap L \lhd K \cap L\)

    条件即\(\forall k \in K, k^{-1}Hk \subseteq H\)，要证为\(\forall x \in K \cap L, x^{-1}(H \cap L)x \subseteq H \cap L\)

    由\(x \in K\)，得到\(x^{-1}(H \cap L)x \subseteq x^{-1}Hx \subseteq H\)

    由\(x \in L\)，得到\(x^{-1}(H \cap L)x \subseteq x^{-1}Lx = L\)，从而可以证明上述引理

  • 设\(H, K, L \leq G\)，如果\(K/H\)为Abel群，那么\((K \cap L)/(H\cap L)\)为Abel群

    \(K/H\)为Abel群等价于\(K' \leq H\)，而我们只需要证明\((K \cap L)'\leq H \cap L\)即可

    对于\(x_1, x_2 \in K \cap L\)，我们有\([x_1, x_2] \in L\)且\([x_1, x_2] \in K' \subseteq H\)从而证毕

  • 有以上引理后，如果\(G\)有Abel列\(G_0 \rhd G_1...\rhd G_n = \{e\}\)，那么令\(H_i = G_i \cap H\)，则\(H = H_0 \rhd H_1 ... \rhd H_n = \{e\}\)，其也构成Abel列，从而\(H\)可解

  • 这是对子群的情况作出的证明，对于商群，令\(H_i = HG_i\)，类似的证明

如果\(H \lhd G\)，且\(H\)与\(G/H\)都可解，则\(G\)可解

设\(H, G/H\)的Abel列分别为\(H_0 \rhd H_1 ... \rhd H_m, G_0/H \rhd G_1/H...\rhd G_n/H\)

由第一同构定理，\((G_{i}/H)/(G_{i+1}/H) \cong G_i/G_{i+1}\)，那么\(G_0 \rhd G_1, ..., \rhd G_n = H\)也构成Abel列，后面再接上\(H\)的Abel列即可

设\(H, K \lhd G\)，那么\(G/H, G/K\)都可解，当且仅当\(G/(H \cap K)\)可解

"\(\Leftarrow\)"：证明\(G/H\cong (G/(H \cap K)) / (H/(H \cap K))\)

"\(\Rightarrow\)"：证明\((G/(H \cap K))/(H/(H\cap K)) \cong G/H\)，且\(H/(H\cap K) \cong HK/K\)

设\(G\)为可解群，有合成群列\(G=G_0 \rhd G_1 \rhd ... \rhd G_n = \{e\}\)，那么商群\(G_i/G_{i+1}\)都是素数阶循环群

合成群列的商群为单群，而商群又可解，因此为可解单群，从而为素数阶循环群

对换，轮换

\(\sigma = (a_1, a_2, ..., a_n)\)是一个置换，即\(\sigma(a_i) = a_{i+1}(1 \leq i \leq n)\)（补充\(a_{n+1}=a_1\)），其余地方则和单位置换一致，这种置换称为轮换

长度为\(2\)的轮换称为对换

• 不相交的轮换可以交换

• 每一个置换可以写为若干不相交轮换的乘积

• 长为\(n\)的轮换可以表为\(n-1\)个对换的乘积，具体而言\((a_1,a_2, ..., a_n)=(a_1a_n)(a_1a_{n-1})...(a_1a_2)\)

week7

置换的奇偶

对于置换\(\sigma\)，定义\(N(\sigma) = \sum_{1\leq i<j \leq n} [\sigma(i) >\sigma(j)]\)

定义\(\text{sgn}(\sigma) = (-1)^{N(\sigma)}\)

如果\(\text{sgn}(\sigma) = 1\)，则成为偶置换，如果\(\text{sgn}(\sigma) = -1\)，则称为奇置换

• \(\prod_{1 \leq i < j \leq n} \text{sgn}(\sigma(j) - \sigma(i)) = (-1)^{N(\sigma)} = \text{sgn} (\sigma)\)

一个置换称为奇（偶）排列，当且仅当其能写为奇（偶）个对换的乘积

• 右乘一个对换\((k, l) (k < l)\)，讨论\(i, j\)和\(k, l\)的大小关系，可以知道\(\text{sgn}(\sigma)\)变号

• \(\text{sgn}(\sigma_1 \sigma_2) = \text{sgn}(\sigma_1) \text{sgn}(\sigma_2)\)

交错群

记\(A_n = \{\sigma \in S_n : \text{sgn}(\sigma) = 1\}\)，那么

• \(A_n \lhd S_n\)
• \(S_n / A_n \cong \{\pm1\}\)

考虑同态\(\phi(\sigma) = \text{sgn}(\sigma)\)，那么\(\ker \phi = A_n\), \(\text{Im} \phi = \{\pm1\}\)

置换群的生成元

\(S_n = \langle (1, 2), (1, 2, 3, ..., n)\rangle\)

• 我们按照下面的步骤来证明
  • \((1, 2)\)和\((1, 2, 3, .., n)\)可以生成所有的\((i, i + 1)\)
  • \((i, i+1)\)可以生成所有的\((1, i)\)
  • \((1, i)\)可以生成所有的轮换（\((i_1, ..., i_m) = (1, i_m)(1, i_{m-1}, ..., (1, i_1)(1, i_m))\)），而轮换可以生成所有的置换

当\(n \geq 5\)时，\(A_n = \langle (1, 2, 3), ..., (1, 2, n)\rangle\)

• 所有的\((1, i)(1, j)\)可以被上述元素生成，如\(i, j > 2\)时，\((1, i)(1, j)=(1, 2, i)^{-1}(1, 2, j)(1, 2, i)\)
• \(A_n\)中的元素可以表为偶数个含\(1\)对换的乘积

置换群的可解性

\(S_n' = A_n\)

• \(S_n / A_n \cong \{\pm1\}\)为阿贝尔群，故\(S_n' \leq A_n\)

  任何一个\((1, 2, i) = [(1,2),(1,i)] \in S_n'\)，从而\(A_n \leq S_n'\)

当\(n \leq 3\)时，\(S_n'' = A_n' = \{1\}\)

当\(n = 4\)时，\(S_n''' = A_n'' = K' = \{1\}\)

从而\(n \leq 4\)时，\(S_n\)都是可解群

直接验证即可

(Galois) 当\(n \geq 5\)时，\(S_n\)及\(A_n\)不是可解群，并且\(A_n\)是一个单群

• 对于前一部分，我们证明\(A_n' = A_n\)，而这又只需要注意到任何一个\((1, 2, i) = [(1,k,2),(1,j,i)](j, k \neq 1,2,i)\in A_n'\)即可

• 单群的证明比较复杂，跳过算了

week8

第三同构定理/第四同构定理/蝴蝶引理

设\(L_1 \lhd H_1 \leq G, L_2 \lhd H_2 \leq G\)，则

• \((H_1 \cap L_2)L_1 \lhd (H_1\cap H_2)L_1\)
• \((H_2\cap L_1)L_2 \lhd (H_1\cap H_2)L_2\)
• \((H_1\cap H_2) L_1 / (H_1\cap L_2)L_1 \cong (H_1\cap H_2) L_2 / (H_2\cap L_1)L_2\)

证明比较复杂，这里就列举两个比较关键的引理

• 设\(K \leq H \leq G\)，\(L \leq G\)，则\(H \cap KL = K(H \cap L)\)
• 设\(K \lhd H \leq G, L \leq G\)，则
  • \(K \cap L \lhd H \cap L\)，且\((H \cap L) / (K \cap L) \cong K(H\cap L)/K\)
  • 若\(L \lhd G\)，那么\(KL \lhd HL\)，\(K(H \cap L) \lhd H\)，并且\(HL/KL \cong H/K(H \cap L)\)

Schereier定理

群\(G\)的任意两个正规群列存在等价的加细

• 证明的思路是假设有两个长为\(n, m\)的，凑一个长为\(nm\)的来证明，但比较复杂
• 这个定理可以方便的证明Jordan-Holder定理

外直积

设群\(G_1, G_2, ..., G_n\)，定义\(G = G_1 \times G_2 \times ... \times G_n = \{(g_1, g_2, ..., g_n) : \forall i, g_i \in G_i\}\)

对于\(G\)中的元素\(x=(x_1, x_2, ..., x_n), y=(y_1, y_2, ..., y_n)\)定义乘法为\(xy=(x_1y_1, ..., x_ny_n)\)，其中\(x_iy_i\)为\(G_i\)中的乘法

那么\(G\)按照上述定义的乘法构成群，称为\(G_1, G_2, ..., G_n\)的外直积

虽然\(G\)与\(G_i\)之间太大关系，但是我们可以找出\(G\)的一个子群，其与\(G_i\)之间关系密切

令\(G_{i}^* = \{(e_1, e_2, ..., e_{i-1}, g_i, e_{i+1}, ..., e_n):g_i\in G_i\}\)，那么

• \(G_i \cong G_i^*\)
• \(G_i^* \lhd G\)
• \(G_i* \cap \prod_{j \neq i} G_j^* = \{e\}\)
• \(\prod_{i=1}^n G_i^* = G\)

内直积

设\(G\)为群，\(G_1, G_2, ..., G_n \lhd G\)，若\(G\)中的每一个元素\(g\)可以唯一的表示为\(g = g_1g_2...g_n, g_i\in G_i\)，则称\(G\)为\(G_1, G_2, ..., G_n\)的内直积

依据下面的定理，内直积可以有若干等价的定义

设\(G_1, G_2, ..., G_n \lhd G\)，则下列命题等价

1. \(G_i \cap \prod_{j \neq i}G_j = \{e\}\)

2. \(G\)中的每个元素至多存在一种被表示为\(g_1g_2...g_n\)的方式

3. 单位元的表示方法唯一，也即若\(e = g_1g_2...g_n\)，那么\(g_1=g_2=...=g_n=e\)

• 1. -> (b) : 设\(x_1x_2...x_n=y_1y_2...y_n\)，那么\(x_ny_n^{-1}=(x_1x_2...x_{n-1})^{-1}(y_1y_2...y_{n-1})\)，而\(x_1x_2...x_{n-1}, y_1y_2...y_{n-1} \in G_1G_2...G_{n-1}\)，\(x_ny_n^{-1} \in G_n\)，故\(x_n = y_n\)，后面类似的进行讨论即可
• 2. -> (c) : trival
• 3. -> (a) : 设\(x_i = x_1x_2...x_{i-1}x_{i+1}...x_n\)，不难证明存在\(x_j' \in G_j\)，使得\(x_i^{-1}x_j' = x_jx_i^{-1}\)（\(G_j=x_iG_jx_i^{-1}\)），进行若干次交换，得到\(e=x_1'x_2'...x_{i-1}'x_i^{-1}x_{i+1}...x_n\)，从而\(x_i = e\)

按照上面的结论，内直积等价于

• \(G = G_1G_2...G_n\)
• \(\forall i, G_i \cap \prod_{j \neq i}G_j = \{e\}\)

不难注意到，这和上面外直积的性质非常的相像

直积

设\(G\)为\(G_1, G_2, ..., G_n\)的内直积，\(G' = G_1 \times G_2 \times ... \times G_n\)为外直积，那么\(G \cong G'\)

• 构造映射\(\sigma((x_1, x_2, ..., x_n))=x_1x_2...x_n\)即可

  证明同态时，利用结论：设\(H, K \lhd G\)，\(H \cap K = \{e\}\)，则\(\forall h \in H, k \in K, hk=kh\)

这个定理告诉我们外直积和内直积没什么区别...

• 设\(G\)为有限群，\(H \lhd G, K \lhd G\)，若\(|H|*|K|=|G|\)且\(H \cap K = \{e\}\)，那么\(G \cong H \times K\)

week9

有限Abel群的Sylow p-子群的分解

设\(G\)为有限Abel群，设\(|G| = \prod_{i=1}^n p_i^{\alpha_i}\)，其中\(p_1, p_2, ..., p_n\)为两两不同的素数

令\(G_i\)为其（唯一的）Sylow p-子群，那么\(G \cong G_1 \times G_2 \times...\times G_n\)

首先，根据Abel群的性质，\(G_i \lhd G\)

其次，用第二同构定理得到\(|G_iG_j| \mid |G_i| * |G_j|\)，稍作扩展，得到\(|\prod_{j \neq i} G_j| \mid \prod_{j \neq i}|G_j|\)

由于\(\gcd(\prod_{j\neq i} G_j, G_i) = 1\)，因此\(G_i \cap \prod_{j \neq i}G_j = \{e\}\)

那么\(H = \prod_{i=1}^n G_i\)构成\(G_1, G_2, ..., G_n\)的内直积，其与外直积同构，由同构的大小关系又可以得到\(H=G\)

幂指数

设\(G\)为有限群，使得\(\forall g \in G, g^n = e\)的最小的正整数\(n\)称为\(G\)的幂指数，记为\(exp(G)\)

幂指数\(exp(G)\)就是所有元素的阶数的最小公倍数

特别的，\(exp(C_{n_1} \times C_{n_2} ... \times C_{n_k}) = \text{lcm}(n_1, ..., n_k)\)

设\(G\)为有限Abel群，那么\(exp(G) = \max_{x \in G} o(x)\)

设\(g\in G\)取到\(o(g)\)最大值，考虑证明\(\forall x, o(x)|o(g)\)

如果\(\exists a, o(a) \nmid o(g)\)，那么存在\(p\)，使得\(v_p(o(a))>v_p(o(g))\)

设\(g=p^\alpha n, a = p^\beta m\)，那么\(o(g^{p^\alpha} a^m) = p^\beta n > o(g)，\)矛盾

最后对阶的计算依赖于以下引理

• 如果\(\gcd(o(a), o(b)) = 1\)，且\(ab=ba\)，那么\(o(ab)=o(a)o(b)\)

有限Abel群结构定理

引理

设\(G\)为有限Abel群，\(a \in G\)，\(o(a)=exp(G)\)，那么存在\(H \leqslant G\)，使得\(G\)为\(\langle a \rangle, H\)的内直积

这个引理的证明非常的复杂，我们就略过了

设\(G\)为不平凡的有限Abel群，那么

1. 存在唯一的正整数\(n_1 \mid n_2 \mid ... \mid n_r\)，使得\(G \cong C_{n_1} \times C_{n_2} \times ... \times C_{n_r}\)

2. \(G\)存在唯一的循环p-群的直积表示（比如\(C_2 \times C_{2^2} \times C_3\)）

只证明存在性，唯一性省略

对于(i)，我们运用引理，取\(o(a) = exp(G)\)，那么\(C_{n_r} = \langle a\rangle\)，对\(H\)进行类似的分解即可，注意到\(exp(H)\mid exp(G)\)，如此可以保证存在性

对于(ii)，现对\(G\)运用Sylow p-子群的分解，之后对每一个Sylow p-子群运用(i)即可

有限生成Abel群结构定理

如果一个群\(G\)由有限个元素\(a_1, a_2, ..., a_n\)生成，即\(G = \langle a_1, a_2, ..., a_n\rangle\)，则称\(G\)为有限生成群

对于有限生成Abel群，其结构也已确定，在这之前，我们需要定义挠子群

记\(Tor(G) = \{g \in G : o(g) \;is\;finite\}\)，那么\(Tor(G) \leq G\)，称其为\(G\)的挠子群

下面我们正式介绍有限生成Abel群结构定理

设\(G\)为有限生成Abel群，那么\(Tor(G)\)为有限子群，并且存在自然数\(r \in N\)，使得\(G \cong Tor(G) \underbrace{\times Z \times Z....\times Z}_{r \text{个}}\)，\(r\)称为（有限生成Abel群）\(G\)的秩

证明略