抽象代数2

环

week9

环

设\(R\)为一个非空集，在其上定义了\(+, *\)两种运算

如果\(R\)按\(+\)构成Abel群，按\(*\)构成半群

并且\(*\)对\(+\)有分配律（\(a*(b+c)=a*b+a*c, \;(b+c)*a=b*a+c*a\)）

则称\(R\)按\(+, *\)构成环

而\(\langle R, +, *\rangle\)称为环的结构

\(R\)的加法单位元，记为\(0\)，称为零元

特殊的环

设\(R\)为环，如果\(R\)对乘法交换，则称\(R\)为交换环

若环\(R\)对乘法构成幺半群，则称\(R\)为幺环

为了引入整环，我们先定义零因子

如果存在\(a, b \in R\)，如果\(a\neq 0, b \neq 0\)，但\(ab=0\)，则称\(a\)为（左）零因子，\(b\)为（右）零因子

无零因子的交换幺环称为整环

例子

• \(Z\)按整数加法，整数乘法构成整环

• \(Z/mZ\)按取模加法，取模乘法构成交换幺环

• 记\(R[x]=\{a_0 + a_1x + ...+a_nx^n : a_0,a_1, ..., a_n \in R, n \in N\}\)，

  在其上定义加法：\(\sum_i a_ix^i + \sum_i b_i x^i = \sum_i (a_i + b_i)x^i\)

  在其上定义乘法：\((\sum_i a_ix^i)(\sum_j b_jx^j) = \sum_k (\sum_{i+j=k} a_ib_j) x^k\)

  那么，\(R[x]\)构成环（成为环\(R\)上的一元多项式环），\(x\)称为未定元

  • \(R\)为交换环时，\(R[x]\)也构成交换环
  • \(R\)无零因子时，\(R[x]\)也没有零因子
  • \(R\)为幺环时，\(R[x]\)也为幺环

• 记\(M_n(R) = \{(a_{ij})_{n \times n} : a_{ij} \in R\}\)，称为\(R\)上的\(n \times n\)的矩阵环

  • \(R\)为交换环时，\(M_n(R)\)不一定为交换环
  • \(R\)没有零因子时，\(M_n(R)\)也不一定没有零因子

week10

环的性质

设\(R\)为环，\(a_1, a_2,..., a_n \in R, b_1, ..., b_n \in R\)，那么\((\sum_{i=1}^n a_i)(\sum_{j=1}^m b_j) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_ib_j\)

设\(R\)为环，那么\(\forall a \in R, a * 0 = 0*a = 0\)

设\(R\)为环，\(R\)中有零因子当且仅当\(R\)中有消去律（即\(a \neq 0\)时，\(ab=ac \Leftrightarrow b=c\), \(ba=ca \Leftrightarrow b=c\)）

设\(R\)为环，对\(a \in R, n \in Z^+\)，定义\(na = \overbrace{a + a +... +a}^{n个}\)

对\(n=0\)，定义\(na = 0\)

对\(n < 0\)，定义\(na = (-n)(-a) = \overbrace{-a + (-a) +... +(-a)}^{-n个}\)

那么，对\(m \in Z, a, b\in R\)，有\((ma)b=m(ab)=a(mb)\)

设\(R\)为交换环，那么\((a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k}\)

子环

设\(R\)为环，\(S \subseteq R\)且\(S \neq \emptyset\)，如果\(S\)按\(R\)中的加法和乘法构成环，那么称\(S\)为\(R\)的子环，记为\(S \leq R\)

• \(S \leq R\)等价于\(S\)对加法，减法，乘法封闭
• \(O = \{0\}\)是最小子环，称为零环
• 对\(O \neq S \subseteq R\)，有\(S\)中的单位元\(1 \neq 0\)

理想

设\(R\)为环，\(\emptyset \neq I \subseteq R\)，如果

• 若\(a, b\in I\)，那么\(a \pm b \in I\)
• 若\(a \in I, r \in R\)，那么\(a*r, r*a \in I\)

则称\(I\)为环\(R\)的理想

理想相当于正规子环

剩余类

设\(I\)为\(R\)的理想，对\(a, b \in R\)，如果\(a - b \in I\)，则称\(a \equiv b(mod\;I)\)，称为\(a, b\)模\(I\)同余

• 这是一个等价关系

按模\(I\)同余关系形成的等价类，即\(\bar{a} = a + I\)，称为\(a\)在模\(I\)下的剩余类

对剩余类，我们定义加法和乘法

• \(\bar{a} + \bar{b} = \overline{a+b}\)

• \(\bar{a} * \bar{b} = \overline{a*b}\)

  （注意这个定义和群是有所区别的，因为\((a+I)(b+I) \neq ab + I\)不一定成立，但我们可以保证\((a+I)(b+I) \subseteq ab+ I\)，故而该定义是合法的）

商环

设\(I\)为环\(R\)的理想，那么\(I\)的剩余类按照剩余类的加法和乘法构成环，称为商环

• \(mZ\)为\(Z\)的理想，\(a \equiv b (mod\;mZ)\)相当于\(a \equiv b(mod\;m)\)

同构

设\(\sigma\)为环\(R\)到环\(R'\)的映射，若\(\forall a, b, \in R\)，有

• \(\sigma(a+b)=\sigma(a)+\sigma(b)\)
• \(\sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b)\)

则称\(\sigma\)为\(R\)到\(R'\)的同态

• 类似于群，我们定义满同态，单同态和同构，特别的，同构记为\(R \cong R'\)

环同态基本定理

设\(\sigma\)为\(R \to \bar{R}\)的同态，则\(\ker(\sigma) := \{a \in R : \sigma(a) = \bar{0}\}\)称为同态核，则

• \(\ker(\sigma) \lhd R\)
• \(\text{Im}(\sigma) = \sigma(R) = \{\sigma(r):r\in R\} \leq \bar{R}\)
• \(R/\ker(\sigma) \cong \text{Im}(\sigma)\)

环同态第一定理

设\(I \lhd R\)，那么

• \(R\)中包含\(I\)的子环和\(R/I\)的子环之间存在一一对应关系\(S \to S/I\)
• 如果\(I\subseteq S\)，\(S \leq R \Rightarrow S/I \leq R/I\)
• 如果\(I \subseteq S, S \leq R\)，那么\(S \lhd R \Leftrightarrow S/I \lhd R/I\)
• 如果\(I\subseteq S\)，\(S \lhd R\)，那么\(R/S \cong (R/I)/(S/I)\)

环同态第二定理

设\(R\)为环，\(I \lhd R\)且\(S \leq R\)，那么\(I\cap S \lhd S\)，并且\(S/(I \cap S) \cong (I+S)/I\)

环的外直和

设\(R_1, R_2,...,R_n\)为环，令\(R = R_1 \oplus ... \oplus R_n\)

在其上定义加法：\((r_1,...,r_n)+(r_1',...r_n') = (r_1+r_1',...,r_n+r_n')\)

定义乘法\((r_1,...,r_n)*(r_1',...r_n')=(r_1r_1',...,r_nr_n')\)

那么\(R\)按上述运算构成环，称为环\(R_1, ..., R_n\)的（外）直和

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week 11

理想的交

设\(I_1, I_2, ..., I_n\)为理想，那么\(I = \bigcap_{j=1}^i I_j\)也是理想

生成的理想

设\(R\)为环，\(X \subseteq R\)，那么称由\(X\)生成的理想为\(\langle X \rangle = \bigcap_{X \subseteq I \lhd R} I\)

• \(\langle X \rangle\)是包含\(X\)的最小的理想
• \(\langle X \rangle = \{\sum_{i=1}^n r_i x_is_i:x_i\in X, r_i, s_i \in R, n \in Z^+\}\)（考虑包含\(X\)的理想应该含有什么数字，以及这个集合确实构成理想）
• 当\(R\)为交换幺环时，\(\langle X \rangle = \{\sum_{i=1}^n r_i x_i:x_i\in X, r_i\in R, n \in Z^+\}\)，此时，如果\(X=\{x_1,...,x_k\}\)，那么我们也记\(\langle X\rangle = (x_1,...,x_k)\)
• 当\(R\)为交换幺环时，称\((a) = \{ra:r\in R\}\)为\(a\)生成的主理想

理想的和

设\(I_1,I_2,...,I_n\)为理想，那么\(\sum_{i=1}^n I_i\)也为理想，称为理想的和

理想的积

设\(I_1,I_2,...,I_n\)为理想，那么称\(I_1 \cdot I_2 ... \cdot I_n = \langle I_1I_2...I_n \rangle = \{\sum_{j=1}^m \prod_{k=1}^n i_k : i_k \in I_k, m \in Z^+\}\)为理想的积

一般用\(I_1I_2...I_n\)直接来代指\(I_1 \cdot I_2 ... \cdot I_n\)

理想的积对理想的和有分配率

• \(I_1 \cdot (I_2 + I_3) = I_1 \cdot I_2 + I_1 \cdot I_3\)
• \((I_2 + I_3) \cdot I_1= I_2 \cdot I_1 + I_3 \cdot I_1\)

环的外直和

设\(R = R_1 \oplus R_2 ... \oplus R_n\)，设\(R_i^* = \{(0,0,...0,r_i,0,...,0):r_i \in R_i\}\)

那么和群一致的有：

• \(R_1^* \oplus ... \oplus R_n^* = R\)
• \(R_i^* \lhd R\)
• \(R_i^* \cap \sum_{j \neq i} R_j^* = (0) = O\)

环的内直和

设\(R\)为环，\(R_1,R_2,...,R_n\)为理想，如果

• \(R_1 \oplus ... \oplus R_n = R\)
• \(R_i \cap \sum_{j \neq i} R_j = O\)

则称\(R\)为\(R_1,R_2,...,R_n\)的内直和

第二个条件和群一样，可以等价为\(R\)中的元素可以唯一的表为\(r_1+...+r_n\)的形式

设\(R\)为环\(R_1,...,R_n\)的内直和，那么\(R \cong R_1 \oplus ... \oplus R_n\)

互素

如果幺环\(R\)的理想\(I,J\)满足\(I+J=R\)，则称\(I,J\)互素

• 互素的充要条件为\(\exists i \in I, j \in J\)使\(i+j=1\)

week12

中国剩余定理

设幺环\(R\)上的理想\(A_1, A_2, ..., A_n\)两两互素，那么

\[R/\bigcap_{i=1}^n A_i \cong R/A_1 \oplus R/A_2 ... \oplus R/A_n\]

特别的，当\(R\)为交换幺环时，\(\bigcap_{i=1}^n A_i = A_1A_2...A_n\)，从而

\[R/ A_1A_2...A_n \cong R/A_1 \oplus R/A_2 ... \oplus R/A_n\]

要证明这个定理，我们先证明一个引理

设\(I, J, K\)为幺环\(R\)的理想，那么

1. 当\(I\)与\(J, K\)都互素时，\(I\)与\(JK\)互素

2. \(I, J\)互素时，\(I \cap J = IJ+JI\)，特别的，如果\(R\)为交换幺环，那么\(I\cap J = IJ+JI=IJ\)

(i)的证明，由于\(I\)与\(J, K\)互素，因此存在\(i_1, i_2 \in I, j \in J, k \in K\)，使得\(i_1 + j = 1, i_2+k = 1\)，因此\(1 = (i_1+j)(i_2+k)=(i_1i_2+ji_2+i_1k)+jk \in I+JK\)，从而\(I\)与\(JK\)互素

(ii)的证明类似，由于\(I, J\)为理想，因此\(IJ \subseteq I, J\)，类似\(JI \subseteq I \cap J\)，从而\(IJ+JI \subseteq I \cap J\)

由于\(I, J\)互素，取\(i+j=1\)，那么\(\forall x \in I \cap J, x=1x=ix+jx\in IJ+JI\)，\(\square\)

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下面我们正式开始证明中国剩余定理

构造\(R\)到\(R/A_1 \oplus R/A_2 \oplus ... \oplus R/A_n\)的映射\(\sigma\)：\(\sigma(x) = (x+A_1, x+A_2, ..., x+A_n)\)

不难证明这是一个同态，考虑同态核：将有\(x+A_1 = A_1, ..., x+A_n=A_n\)，也即\(x\in \bigcap_{i=1}^n A_i\)

再考虑同态像，我们依赖于下面的定理，事实上，下面的定理和数论形式的中国剩余定理更为接近

任给\(a_1, a_2, ..., a_n \in R\)，那么方程组

\[\begin{cases} x \equiv a_1(mod\;A_1) \\ x \equiv a_2(mod\;A_2) \\ ... \\x \equiv a_n(mod\;A_n)\end{cases}\]在\(R\)中有解，并且在模\(\bigcap_{i=1}^n A_i\)的意义下唯一确定

令\(B_i = \prod_{j \neq i} A_j\)，根据引理(i)，\(B_i\)与\(A_i\)互素，因此存在\(a_i' \in A_i, b_i \in B_i\)使得\(a_i' + b_i = 1\)

此时，对\(j \neq i\)，根据\(A_j\)是一个理想，将有\(b_i \in A_j\)，即\(b_i \equiv 0(mod\;A_j)\)，而\(b_i \equiv 1(mod\;A_i)\)

那么，令\(x_0 = \sum_{i=1}^n a_ib_i\)，这就是原方程组的一个解

不妨设方程还有另一个\(x\)，那么由\((x-x_0) \in A_1, ..., (x-x_0)\in A_n\)，得到\(x-x_0 \in \bigcap_{i=1}^n A_i\)，也即\(x \equiv x_0(mod\;\bigcap_{i=1}^n A_i)\)

根据上面的定理，我们可以知道\(\sigma\)实际上是一个满同态，因此由环的同态基本定理

\[R/\bigcap_{i=1}^n A_i \cong R/A_1 \oplus R/A_2 ... \oplus R/A_n\]

当\(R\)是交换幺环时，运用引理(ii)即可归纳证明其形式

单位群

对幺环\(R\)，称\(u\)为单位，当且仅当\(u\)为乘法可逆元，也即存在\(u' \in R\)使得\(uu' = 1\)

注意到，如果\(u, v\)为单位，那么\(u^{-1}, uv\)也为单位，这告诉我们\(U(R) = \{u:u\in R, u\text{是单位}\}\)按乘法构成一个群

• \(U(Z) = \{\pm 1\}\)
• 称\(Z[i] = \{a+bi:a, b \in Z\}\)为Gauss复整数环，则\(U(Z[i]) = \{\pm1, \pm i\}\)
• 称\(Z[w] = \{a+bw : a, b\in Z\}\)为Eisenstein环，其中\(w\)为非\(1\)的三次单位根，并且\(U(Z[w]) = \{\pm 1, \pm w, \pm w^2 \}\)
• 设\(R_1, R_2, ..., R_n\)为幺环，那么\(U(R_1 \oplus R_2 \oplus ...\oplus R_n) = U(R_1) \times U(R_2) ... \times U(R_n)\)

素理想

设\(R\)为交换幺环，\(I \neq R\)为\(R\)的理想，如果\(\forall a, b \in R, ab \in I\)可以推出\(a \in I\)或者\(b \in I\)，那么称\(I\)为\(R\)的素理想

极大理想

设\(R\)为交换幺环，\(I \neq R\)为\(R\)的理想，如果\(J \lhd R, I \subseteq J \subseteq R\)可以推出\(J = I\)或者\(J=R\)，那么称\(I\)为\(R\)的极大理想

• \((0)\)是\(Z\)的素理想，但不是极大理想

  对于素数\(p\)，\((p)\)是\(Z\)的素理想，也是极大理想

  其余的\((n)\)既不是\(Z\)的素理想，也不是极大理想

域

若\(F\)为环，\(F/\{0\}\)构成Abel群，那么，称\(F\)构成域

• 域一定是整环

  \(a \neq 0\)时，\(ab=0\Rightarrow a^{-1}ab = 0 \Rightarrow b=0\)

素理想与整环，极大理想与域

设\(R\)为交换幺环，则

1. \(R\)为整环，当且仅当\(O\)为\(R\)的素理想

2. \(R\)为域，当且仅当\(O\)为\(R\)的极大理想

(i)是平凡的，考虑(ii)，\(R\)为域等价于对任意\(a \neq 0\)存在逆元，

如果存在\(I \lhd R\)，使得\(O \subseteq I \subseteq R\)，当\(I \neq O\)，任取\(i \in I - O\)，那么\(1 \in i^{-1}I=I\)，从而\(I=R\)

反之，考虑\(O \subseteq \langle a\rangle \subseteq R\)，当\(a \neq 0\)时，有\(\langle a \rangle =R\)，于是\(a\)存在逆元

设\(R\)为交换幺环，\(P \neq R\)为\(R\)的理想，则

1. \(P\)为素理想当且仅当\(R/P\)为整环

2. \(P\)为极大理想当且仅当\(R/P\)为域

运用上面的引理和定义证明即可

• 极大理想一定是素理想

设\(\sigma\)是环\(R\)到\(R'\)的同态，那么

• 对\(\ker \sigma \subseteq M\)，\(M\)为素理想当且仅当\(\sigma(M)\)为素理想
• 对\(\ker \sigma \subseteq M\)，\(M\)为极大理想当且仅当\(\sigma(M)\)为极大理想

上述定理实际上可以表明，包括核的素/极大理想和像的素/极大理想存在一一对应

证明：\(M\)为\(R\)的素理想，当且仅当\(R/M\)为整环，当且仅当\(\sigma(R)/\sigma(M)\)为整环（第一同构定理），当且仅当\(\sigma(M)\)为素理想，极大理想类似

素理想的存在性

设\(R\)为交换幺环，\(I \lhd R\)且存在\(a \in R\)，使得\(I \cap \{a^n:n\in Z\} = \emptyset\)，那么必然存在包含\(I\)的素理想\(P\)，使得\(P \cap \{a^n:n\in Z\} = \emptyset\)

证明较为复杂，略过

• 设\(R\)为交换幺环，\(I \neq R\)为\(R\)的理想，那么存在包含\(I\)的极大理想

注意到\(I \cap \{1\} = \emptyset\)，说明极大的满足\(P \cap \{1\} = \emptyset\)的理想为极大理想即可

诣零根

设环\(R\)为非零元，则称\(r(R)=\bigcap_{P\text{为$R$的素理想}} P\)为\(R\)的诣零根

这个结构的名字可能比较奇怪，需要从另一个角度来理解

\(r(R)\)恰为\(A\)中所有的幂零元构成

如果\(a^n = 0\in P\)，那么由素理想的性质，不难推出\(a \in P\)

如果\(a^n \neq 0\)，那么\(\{a^n\} \cap O = \emptyset\)，根据上一个定理，存在\(P\)，使得\(a \notin P\)

• \(r(Z)=O\)

week13

形式幂级数环

令\(R[[X]] = \{(a_n)_{n \geq 0}, a_n \in R\}\)，其中\((a_n) = (a_0,a_1,...)\)为无穷序列，在其上定义加，乘法：

• \((a_n) + (b_n) = (a_n+b_n)\)
• \((a_n) * (b_n) = (\sum_{i+j=n} a_ib_j)\)

那么\(R[[x]]\)按上述加法和乘法构成环，称为形式幂级数环

这个定义和形式幂级数看起来没什么关系，实则不然

• 我们考虑将\((0,1,0,...)\)看作\(x\)，那么\(x^n = (0,0,...,0,1,0,0,...)\)，其中第\(n\)位为\(1\)，那么\((a_n) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ...\)，这样就与平时认知的幂级数有了联系
• \(R\)可以“看作”是\(R[[x]]\)的一个子环（考虑无穷序列到常数项的映射）
• \(x\)在\(R[[x]]\)上生成的子环为\(R[x]\)（\(R\)上的一元多项式环）

多元多项式环

定义二元多项式环\(R[x,y] = R[x][y]\)，即系数在\(R[x]\)中的\(y\)的一元多项式环，多元可以类推

• 对于多元多项式：\(\sum_{i=0}^n a_{i_1, ...,i_n} x_1^{i_1}x_2^{i_2}...x_n^{i_n}\)，定义次数为\(\max\{i_1+i_2+...+i_n:a_{i_1,i_2,...,i_n} \neq 0\}\)
• 零多项式的次数为\(-\infty\)
• \(\deg(f+g) \leq \deg(f) + \deg(g)\)
• \(\deg(fg) \leq \deg(f) + \deg(g)\)，在\(f, g\)的首项不是零因子时，这里应该取等，小于号是因为零因子的存在性

多项式环的单位群

设\(R\)为整环，则\(R[x_1,...,x_n]\)也为整环，并且\(U(R[x_1,...,x_n])=U(R)\)

• 我们之前已经提到过，如果\(R\)为整环，那么\(R[x]\)为整环，归纳即可证明\(R[x_1,...,x_n]\)为整环

• 对于第二点，在整环中\(f(x)g(x) = 1\)，只有\(\deg f(x) = 0, \deg g(x) = 0\)

带余除法

设\(R\)为交换幺环，\(f(x), g(x) \in R[x]\)，\(g(x) \neq 0\)且\(g(x)\)的首项为单位，那么有唯一的\(q(x), r(x) \in R[x]\)，使得\(f(x) = q(x)g(x)+r(x)\)，且\(\deg r(x) < \deg g(x)\)

• 取\(r(x)\)使得其在\(S=\{f(x)-g(x)h(x):h(x)\in R\}\)次数最低，对应的\(h(x)\)记为\(q(x)\)，从而有\(f(x)=q(x)g(x)+r(x)\)
• 利用\(g(x)\)的首项为单位，可以证明有\(\deg r(x) < \deg g(x)\)
• 唯一性：设\(f(x)=q(x)g(x)+r(x)=q'(x)g(x)+r'(x)\)，从而\(g(x)(q(x)-q'(x))=r'(x)-r(x)\)，右边小于\(\deg g(x)\)，如果\(q(x)\neq q'(x)\)，左边的度数将\(\geq \deg g(x)\)，从而矛盾（注意到在\(R\neq O\)中，单位一定不是零因子，单位有\(aa^{-1} = 1\)，如果有零因子\(b\)，那么\(b=1*b=a^{-1}ab=a^{-1}0=0\)，矛盾）

带余除法有一个经常用的推论：因式定理

设\(c \in R\)，\(f(x)\in R[x]\)，则\((x-c)\mid f(x)\)的充要条件是\(c\)为\(f(x)\)的一个根

整环中根的数量

设\(R\)为一个整环，\(f(x) \in R[x]\)，\(\deg f(x) = n \geq 0\)，则\(f(x)\)在\(R\)中至多有\(n\)个根

• 归纳证明

整环的单位群

设\(R\)为整环，则\(U(R)\)的有限子群为循环群

• 设\(m=exp(G)\)，由\(x^m = 1\)有\(|G|\)个解知道\(|G| \leq m\)，又由幂指数的性质\(m \leq |G|\)，从而\(m=|G|\)，在有限Abel群中，存在元素\(a\)，使得\(o(a)=m=|G|\)

将其运用到域上，得到

• 有限域中\(F^* = F-\{0\}\)是有限循环群

Euclid整环

设\(R\)为整环，如果存在\(L:R-\{0\} \to N\)，使得\(a, b \in R\)且\(b \neq 0\)时，存在\(q, r \in R\)适合\(a=bq+r\)并且\(r=0\)或\(L(r)<L(b)\)

则称\(R\)为Euclid整环，\(L\)称为Euclid数

• 根据前面的讨论，我们知道：如果\(F\)为域，则\(F[x]\)为Euclid整环

• \(Z[i] = \{a+bi:a, b \in Z\}\)，\(Z[w] = \{a+bw:a, b \in Z\}\)按照\(L(\xi) = \xi \bar{\xi} = |\xi|^2\)构成Euclid整环

  • 任给\(a \in R, b \neq 0 \in R\)（\(R=Z[i]\)或\(Z[w]\)），要寻找满足条件的\(a=bq+r\)，等价于寻找\(q\)，使得\(|\frac{a}{b}-q|<1\)

    根据下面的事实：如果\(x \in R\)，那么\(\bar{x} \in R\)，且\(L(x) \in N\)

    那么\(\frac{a}{b}\)形如\(c+di\)（或者\(c+dw\)），其中\(c, d \in Q\)

    取\(m + ni\)为最接近\(c+di\)的\(R\)中数，简单放缩可以证明该数满足\(|\frac{a}{b}-q|<1\)

下面是关于上述环的一个更一般性的定理

设\(d\)为无平方因子数（\(d \neq 0, d \neq 1\)），定义

\(R_d = \begin{cases} Z[\sqrt{d}]:Z+Z\sqrt {d}, & d \not \equiv 1(mod\;4) \\ Z+Z\frac{-1+\sqrt{d}}{2}, &d \equiv 1(mod\;4)\end{cases}\)

那么，\(d<0\)时，按\(L(\xi) = |xi|^2\)，当且仅当\(d=-1,-2,-3,-7,-11\)时，\(R_d\)为整环

\(d>0\)时，按\(L(a+bd) = |a^2-db^2|\)，当且仅当\(d=2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73\)时，\(R_d\)为整环

主理想整环

如果整环\(R\)中的理想都是主理想，则称\(R\)为主理想整环（PID）

• Euclid整环一定是主理想整环

  不妨设\(I\)为Euclid整环中的非零理想，那么在\(I/\{0\}\)中存在一个\(N(\cdot)\)最小的元素\(a\)

  现在对任意的元素\(b\)，根据Euclid整环的定义，存在\(I\)中的元素\(c, d\)，使得\(a=bc+d\)，并且\(d=0\)或\(N(d)<N(a)\)

  由于\(a\)是\(N(\cdot)\)最小的元素，因此只有\(d=0\)，从而\(a=bc\)，这也就是说\(I=(a)\)

• 在整环中，一般有下面的定理成立：

  • \(b \mid a \Leftrightarrow (a) \subseteq (b)\)
  • \(u\)为单位\(\Leftrightarrow (u) = R\)
  • \(a \sim b\)（\(a\)与\(b\)相伴，\(a \mid b, b \mid a\)）\(\Leftrightarrow (a)=(b) \Leftrightarrow a, b\)之间相差一个单位

不可约元，素元

设\(p\)位整环\(R\)中非零元，非单位元，如果\(a \mid p \Rightarrow a \sim p\)或\(a\)为单位，则称\(p\)为不可约元

• \(p\)可约即存在两个非单位元\(a, b\)，使得\(p=ab\)
• \((p)\)是极大理想，可以推出\(p\)是不可约元，在PID中，反之也是成立的

如果\(p \mid ab \Rightarrow p \mid a\)或\(p \mid b\)，则称\(p\)为素元

• \(p\)为素元，当且仅当\((p)\)为素理想

不可约元与素元

设\(R\)为整环，那么

• \(R\)中素元必为不可约元
• \(R\)为PID时，不可约元为素元

对于第一条，进行反证，设\(p=ab\)，由于\(p \mid ab\)及\(p\)为素元，不妨设\(p \mid a\)

又由于\(a \mid p\)，因此\(a \sim p\)，从而\(b\)为单位，矛盾

对于第二条，证明素理想为极大理想

• 在PID中，非零理想\(I\)为素理想，当且仅当其为极大理想

唯一分解定理

设\(R\)为PID，\(P\)为\(R\)中素元（按照相伴构成的等价类）的代表元，那么\(\forall x \in R\)，其可以唯一地表为\(u \prod_{p_i \in P} p_i^{a_i}\)的形式，其中\(u\)为单位，\(a_i \in N\)并且只有有限个非零的\(a_i\)

week14

Noether环

称交换幺环\(R\)为Noether环，当且仅当其每个理想都是有限生成的

关于Noether环，有下面几条非常重要的等价条件

设\(R\)为交换幺环，那么下面三者等价

1. \(R\)为Noether环

2. （理想升链条件）：称\(I_1 \subseteq I_2 ...\)为\(R\)的理想升链，那么存在\(N\)，当\(n>N\)时，有\(I_{n}=I_{n+1}\)

3. \(R\)种的每个非空理想集按照包含关系具有极大元

\((a) \Rightarrow (b)\)：假如有理想升链\(I_1 \subseteq I_2...\)，设\(I= \bigcup_{i=1}^{\infty} I_i\)，不难证明，\(I\)为理想。根据Noether环的定义，\(I\)为有限生成，不妨设\(I=(a_1,...,a_k)\)，对于每一个\(a_i\)，存在\(n_i\)使得\(a_i \in I_{n_i}\)，那么，取\(N=\max(n_1,...,n_k)\)，将有\(I_N\)之后都相等的性质

\((b) \Rightarrow (c)\)：假设有一个集合没有极大元，我们可以构造出互不相同的理想升链，这与(b)矛盾

\((c) \Rightarrow (a)\)：假设\(I\)不是有限生成，那么我们总可以构造\(I_k = I_{k-1}+(a_k)\)，其中\(a_k \in R-I_{k-1}\)，但其中没有极大元，与(c)矛盾

Hilbert基定理

设\(R\)为Noether环，那么\(R[x]\)为Noether环

对于\(R[x]\)种的理想\(I\)，对\(n \in N\)，定义\(I_n = \{[x^n]P(x):P(x)\in I \wedge \deg P \leq n\}\)（即所有小于等于\(n\)的多项式的\(n\)次项系数）

可以证明，\(I_n \lhd R\)，由于\(I\)为理想，因此\(P(x) \in I \Rightarrow xP(x) \in I\)，这说明\(I_n \subseteq I_{n+1}\)，根据理想升链条件，存在\(N\)，使得\(n>N\)时，\(I_n = I_{n+1}\)

此时，由于\(R\)中的理想有限生成，不妨设\(I_n = (a_{n,1}, a_{n,2},...,a_{n,l(n)})\)

对\(0 \leq i \leq N, 1 \leq j \leq l(n)\)，我们定义\(P_{ij}\)为首项元素为\(a_{ij}\)的多项式，定义\(J\)为这些\(P_{ij}\)生成的理想

不妨设\(P(x)\)的次数为\(q\)，设\(q' = \min(N,q)\)，那么\(P(x)\)的首项可以由\((a_{q', 1}, ..., a_{q', l(q')})\)生成，注意到\(P(x)=Q(x) + \sum_{i=1}^{l(q')} r_i P_{q', i} x^{q-q'}\)，其中\(r_i\)是生成\(P(x)\)首项的系数，那么\(\deg Q(x) < \deg P(x)\)，运用归纳法就可以证明

• \(Z[x_1,...,x_n]\)为Noether环
• 设\(F\)为域，那么\(F[x_1,...,x_n]\)为Noether环

设\(R\)为Noether环，则\(R\)种的每个理想都包含若干素理想的乘积

这条定理就不证明了