抽象代数3

域

week14

特征

记\(1\)为域\(F\)中的乘法单位元，考虑其在\(F\)作为加法群的阶\(n\)

如果\(n\)有限，那么记\(ch(F) = n\)，称为域\(F\)的特征

如果\(n = \infty\)，那么记\(ch(F)=0\)

• \(ch(Q)=ch(C)=0\)
• 对于素数\(p\)，有\(ch(Z/pZ)=p\)

对于域中的非零元\(a\)，当且仅当\(n1 = 0\)时，有\(na = 0\)（这里都是数乘，不是乘法），因此\(a\)和\(1\)在加法群中的阶数相同

根据上面这一条中，再注意到\(1 \neq 0\)，因此\(ch(F)>1\)，我们可以知道

• 当\(ch(F) \neq 0\)时，\(ch(F)\)将是一个素数

子域

如果\(E \subseteq F\)按\(F\)中的\(+\)，\(*\)构成域，那么，

称\(E\)为\(F\)的子域，\(F\)为\(E\)的扩域，用\(F/E\)表示这样的域扩张

根据群的性质，我们不难知道\(ch(E)=ch(F)\)

最小子域

设\(F\)为域，\(ch(F)\)为素数

则\(E=\{me:m\in Z\} = \{0,e,2e,...,(p-1)e\}\)为最小子域，且\(E \cong Z/pZ\)

• 提醒：域\(F\)的乘法群\(F/\{0\}\)的有限子群为循环群

域中的恒等式

如果域\(F\)中恰好有\(q\)个元，则称\(F\)为\(q\)元域

设\(F\)为\(q\)元域，那么

\[\prod_{a \in F^* = F/\{0\}} (x-a) = x^{q-1}-1\]

两边作差后为至多\(q-2\)次多项式，但是有\(q-1\)个根（域中的非零元），因此作差后应该为0

设\(ch(F)=p\)，那么对\(a_1,...,a_n \in F, m \in N\)，有

\[(a_1+...+a_n)^{p^m} = a_1^{p^m} + ... + a_n^{p^m}\]

先证明\((a+b)^p = a^p+b^p\)，这一点利用二项式定理以及\(px=0, \forall x \in F\)，然后对\(n,m\)依次归纳

线性空间

称\(V\)为域\(F\)上的线性空间，如果

1. \(V\)按照加法构成Abel群

2. 有数乘运算，即\(\forall a \in F, x \in V\)，定义\(ax\)为数乘，要求

• \(ax\in V\)，\(1x = x\)，\(abx=(ab)x\)，\(a(x+y)=ax+ay\)，\((a+b)x=ax+bx\)

域扩张

当\(F/E\)为域扩张时，定义数乘为\(F\)中的乘法，那么\(F\)形成\(E\)上的线性空间（验证线性空间的那几条定义即可）

该线性空间的维数，称为域扩张的次数，记为\([F:E]\)

• 设\(L/M\),\(M/K\)为域扩张，并且\([L:M], [M:K]\)有限，那么\([L:K]=[L:M][M:K]\)

  • 要证明这一点，取\(L/M, M/K\)的一组基\(\{\alpha\}, \{\beta\}\)，证明\(\{\alpha \beta\}\)为\(L/K\)的一组基

• 一些例子：\([C:Q]=2\)

  设\(F=\{a+b\sqrt{d}:a, b\in Q\}\)，则\([F:Q]=2\)，称为二次域

最小生成的子环/子域

设\(L/K\)为域扩张，\(\emptyset \neq X \subseteq L\)，那么

\(K[X] = \bigcap_{R \leq L, R \subseteq K\cup X} R\)为包含\(K\cup X\)的最小子环，称为\(K\)添加\(X\)生成的子环，也说由\(X\)生成的\(K\)的扩环

\(K(X)=\bigcap_{K \leq F \leq L, F \subseteq X}F\)为包含\(K\cup X\)的最小子域，称为\(K\)添加\(X\)生成的子域，也说由\(X\)生成的\(K\)的扩域

当\(X=\{a_1,...,a_n\}\)时，也写\(K[X]=K[a_1,...,a_n]\)，\(K(X)=K(a_1,...,a_n)\)

特别的，\(K[a_1,...,a_n]\)就是\(K\)上的多元多项式，\(K(a_1,...,a_n)\)就是\(K\)上的多元多项式的分式，称为有理函数

单扩张

设\(L/K\)为域扩张，如果存在\(a \in L\)，使得\(K(a) = L\)，则称\(L\)为\(K\)的单扩张

week15

代数元

设\(L/K\)为域扩张，\(\alpha \in L\)，如果有非零多项式\(f(x) \in K[x]\)，使得\(f(\alpha) = 0\)，则称\(\alpha\)为\(K\)上的代数元，否则称\(\alpha\)为超越元

• 如果\(\alpha\)是\(Q\)上的代数元，则称其为代数数，否则，称其为超越数
• 如果\(\alpha\)是首一的\(f(x) \in Z[x]\)的根，则称\(\alpha\)为代数整数（比如\(x^2 = 3\)的根）
• 有理数一定是代数数

当把代数整数限制在有理数上时，我们有

有理数中的代数整数只有整数

“\(\Leftarrow\)”：显然

"\(\Rightarrow\)"：如果\(r = \frac{a}{b}, (a, b) = 1\)，满足\(f(r) = \frac{a^n}{b^n} + a_1 \frac{a^{n-1}}{b^{n-1}} + ... + a_n = 0\)

那么\(a^n + a_1ba^{n-1} + ... + b^n a_b = 0\)，因此\(b \mid a^n\)，但是\((a, b) = 1\)，于是\(b = 1\)

极小多项式

设\(L/K\)为域扩张，\(\alpha \in L\)为\(K\)上的代数元，那么\(I = \{g(x) \in K[x] \mid g(\alpha) = 0\}\)是\(K[x]\)的理想

注意到\(K\)是一个域，因此\(K[x]\)是一个Euclid整环，这也就是说存在\(f(x)\)使得\(I = (f(x))\)

我们称\(f(x)\)为\(\alpha\)在\(K\)上的极小多项式

• \(f(x)\)是\(K[x]\)的不可约元

域扩张的次数

设\(L/K\)为域扩张，\(\alpha \in L\)为\(K\)上的\(n\)次代数元（这个次数是指极小多项式的次数），那么

1. \(K(\alpha) = K[\alpha]\)，并且\([K(\alpha) : K] = n\)，对应的线性空间的一组基为\(\alpha^0, \alpha^1, ..., \alpha^{n-1}\)

2. 设\(\alpha\)在\(K\)上的极小多项式为\(f(x)\)，那么\(K(\alpha) \cong K[x] / (f(x))\)

1. 设\(g(x) \in K[x]\)，且\(g(\alpha) \neq 0\)，我们证明\(g(\alpha)\)存在逆元

由于\(f(\alpha)\)是极小多项式（为不可约元），因此\((f(x), g(x))=1\)，那么存在\(u, v\)使得\(uf + gv=1\)，代入\(\alpha\)，得到\(g(\alpha) v(\alpha) = 1\)，这可以说明\(K(\alpha) = K[\alpha]\)

下面，我们考虑证明\(\alpha^0, ..., \alpha^{n-1}\)是一组基，通过取模的方式，其足够表出\(K(\alpha)\)中的所有元素，线性无关则可以根据极小多项式的性质来证明

2. 设\(\sigma : K[x] \to K(\alpha)\)，\(\sigma(f(x)) = f(\alpha)\)，这是一个满同态，同态核为\((f(x))\)

• \(R[i] = C \cong R[x]/(x^2 + 1)\)，此时\(i\)可以看作是取模之后的\(x\)

考虑上述定理的“反面”

设\(K\)为域，\(f(x) \in K[x]\)不可约，那么存在\(K\)的扩域\(L\)，使得存在\(\alpha \in L\)有\(K(\alpha) = L\)，并且\(\alpha\)在\(K\)上的极小多项式为\(f(x)\)

• \(F = K[x] / (f(x))\)构成一个域（不可约元的理想为极大理想），在这个域中，把\(\bar{x}=x + r(x)f(x), r(x) \in K[x]\)“看作”\(\alpha\)，那么\(\alpha\)对应的极小多项式自然为\(f(x)\)

  这里的“看作”实际上就是一堆代换，不难感性理解

有限扩张

设\(L/K\)为域扩张，那么\([L:K]\)有穷当且仅当存在有限个\(K\)上的代数元\(\alpha_1, ..., \alpha_n \in L\)，使得\(K(\alpha_1, ..., \alpha_n) = L\)

必要性：取\(L/K\)的一组基\(\alpha_1, ..., \alpha_n\)，那么\(L \subseteq K(\alpha_1, ..., \alpha_n) \subseteq L\)，于是\(L=K(\alpha_1,...,\alpha_n)\)，因为\([L:K]\)有限，因此每个\(\alpha_i\)都存在一个极小多项式

充分性：设\(K_0 = K, K_i = K_{i-1}(\alpha_i)\)，所有的\(\alpha_i\)作为\(K\)上的代数元，一定也是\(K_{i-1}\)上的代数元，从而\([L:K] = \prod_{i=1}^n [K_i : K_{i-1}] < \infty\)

代数扩张

设\(L/M, M/K\)为域的代数扩张，那么\(L/K\)为域的代数扩张

证明任给\(\alpha \in L\)，证明\(\alpha\)为\(K\)上的代数元

设\(\alpha\)在\(M\)中的极小多项式为\(f(x)=x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_n\)，注意到\(a_1,...,a_n\)为\(K\)上的代数元

那么\([K(a_1, ..., a_n, \alpha) : K] = [K(a_1,...,\alpha):K(a_1,...,a_n)]*[K(a_1,...,a_n):K] < \infty\)

注意到\(\alpha\)为\(K(a_1, ..., a_n)\)上的代数元，上式成立，由于\(\alpha\)在扩张后的域中，因此\(\alpha\)为代数元

代数闭包

设\(L/K\)为域扩张，那么\(\overline{K} = \{a \in L : \alpha \text{为K的代数元}\}\)为\(L\)的子域，并且\(\overline{\overline{K}}=\overline{K}\)

• 我们给出一个引理：设\(L/K\)为域扩张，\(\alpha \in L\)，则\(\alpha\)为\(K\)上的代数元的充要条件为存在不全为\(0\)的\(\alpha_1, ..., \alpha_n \in L\)，使得令\(V = \sum K\alpha_i\)时，有\(\alpha V \subseteq V\)

  充分性：取\(\alpha^0, ..., \alpha^{n-1}\)为系数即可

  必要性：不妨设\(\alpha \alpha_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} \alpha_j\)，那么\(\alpha\)时特征多项式\(|\lambda I - A| = 0\)的根，其中\(A = (a_{ij})\)

利用引理，证明对加法和乘法封闭时，取\(\alpha, \beta\)的极小多项式\(f, g\)的次数为\(n, m\)，令\(V=\sum k_{ij}\alpha^i \beta^j\)

证明\((\alpha \pm \beta) V \subseteq V\)，\(\alpha \beta V \subseteq V\)即可，逆元的证明是平凡的

下面考虑证明\(\overline{\overline{K}}=\overline{K}\)，设\(\alpha\)为\(\overline{K}\)上的代数元，设其极小多项式为\(f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+...+a_n\)

由于系数都在\(K(a_1,...,a_n)\)中，因此\(\alpha\)是\(K(a_1,...,a_n)\)上的代数元，那么类似前面的分析，有\([K(a_1,...,a_n, \alpha):K]<\infty\)，从而\(\alpha \in \overline{K}\)

代数闭域

如果\(F = \overline{F}\)，那么称\(F\)为代数闭域

代数闭域中任何非常数多项式可以分解为一次多项式的乘积

• 复数域\(C\)，全体代数数构成的域\(\overline{Q}\)都是代数闭域

有限域

设\(F\)为有限域，则\(|F|\)为素数幂次

设\(F\)为有限域，不难知道\(ch(F)\)为素数，设\(E = \{0, e, ..., (p-1)e\}\)为\(p\)元域，而\([F:E]\)为有限扩张，设其为\(n\)，那么有\(|F|=|E|^n = p^n\)

形式导数

设\(F\)为域，对于\(P(x) = \sum_{i=0}^k a_i x^i \in F[x]\)，定义其形式导数为$P'(x) = _{i=1}^k ia_ix^{i-1} $

• \((P(x)Q(x))'=P(x)Q'(x)+P'(x)Q(x)\)

我们将通过这个玩意来寻找有限域

• 引理：设\(F\)为\(q\)元域，\(n\)为正整数，则没有非常数多项式\(f(x) \in F[x]\)，使得\(f(x)^2 \mid x^{nq}-x\)

  如果\(x^{nq}-x=f(x)^2g(x)\)，求导之后有\((nqe)x^{nq-1}-e=f(x)^2g'(x)+2f(x)f'(x)g(x)\)

  注意到特征为\(q\)的因子，因此\((nqe)x^{nq-1} = 0\)，那么\(f(x)\)整除右边，自然整除左边，得到\(f(x) \mid e\)

week16

有限域的构造

设\(F\)为\(q\)元域，\(n\)为正整数，则\(x^{q^n} - x\)是\(F[x]\)中次数整除\(n\)的所有首一不可约多项式的乘积

要证明这个引理，我们证明下面三个性质，不过每个证明都比较繁琐...

• \(x^{q^n} - x\)可以分解为首一不可约多项式
• 首一不可约多项式不可能在\(x^{q^n} - x\)中出现两次（使用上周用形式导数相关的引理）
• 所有的不可约多项式是其因子

让我们举一些例子：\(x^{2^2} - x = x(x-1)(x^2 + x + 1)\)

\(x^{3^2} - x = x(x-1)(x+1)(x^2 - 1)(x^2 + x + 2)(x^2 + x - 2)\)

通过上述引理，我们可以证明

设\(E\)为有限域，则\(E[x]\)中一定存在首一\(n\)次不可约多项式

对比上一个定理中的系数，设\(N_d\)为首一\(d\)次不可约多项式，那么有\(q^n = \sum_{d | n} dN_d\)

一个方法是先证明\(d N_d \leq q^n - 1\)，再进行放缩\(\sum_{d | n} d Nd < \sum_{d=1}^n d N_d\)后证明\(N_n \neq 0\)

有限域的存在性

存在有限\(q\)元域的充要条件为存在素数\(p\)和正整数\(n\)，使得\(q = p^n\)

我们已经证明过充分性，对于必要性，我们在\(E = Z / pZ\)中取首一\(n\)次不可约多项式\(f(x)\)，

那么\(E[x] / (f(x))\)就是一个\(p^n\)元域

任何两个有限\(q\)元域同构，我们不妨记其为\(\mathbf{F}_q\)

分裂域

设\(K\)为域，\(f(x) \in K[x]\)，如果对\(K\)的扩域\(L\)，\(f(x)\)在\(L[x]\)可分解为一次式的乘积，但对于\(L\)上的子域都没有这个性质，则称\(L\)为\(f(x)\)在\(K\)上的分裂域

我们可以想象，我们把\(f(x)\)的所有根添入\(K\)之后，新的域应该可以分解为一次式的乘积

实际上，如果\(f(x) = (x-a_1)^{r_1}(x-a_2)^{r_2}...(x-a_n)^{r_n}\)（所有的\(a_i\)两两不同），那么\(f(x)\)在\(K\)上的分裂域为\(K(a_1, ..., a_n)\)

设\(K\)为域，\(f(x) \in K[x]\)非常数多项式，那么\(f(x)\)在\(K\)上的分裂域存在

• 我们把\(f(x)\)写作不可约多项式的乘积，比如\(f(x) = \prod p_i(x)\)，我们考虑对\(p_1(x)\)进行讨论，存在扩域\(K_1 = K(\alpha_1)\)，并且\(\alpha_1\)在\(K\)上的极小多项式为\(p_1(x)\)，那么\(f(x) = (x - \alpha_1)f_1(x)\)，此时\(f_1(x) \in K_1[x]\)，继续对\(f_1(x)\)进行分解，我们就能得到结论

可分元

设\(L/K\)为代数扩张，如果\(\alpha \in L\)在\(K\)上的极小多项式（在其分裂域中）没有重根，则称\(\alpha\)为\(K\)上的可分元

这个定义细想会有点奇怪，这是因为我们没有证明一个性质：对于确定的\(f(x)\)的任何的分裂域，\(f(x)\)在这些分裂域上根的重数在同构的意义下是相等的

对于可分元，其有一个性质

设\(L/K\)为代数扩张，那么\(\alpha \in L\)为可分元，当且仅当\(\alpha\)在\(K\)上的极小多项式\(f(x)\)的导数\(f'(x)\)非零

• 如果\(\alpha\)为可分元，设\(f(x) = \prod(x - a_i)\)，那么\(f'(x) = \sum_i \prod_{j \neq i} (x-a_j)\)，于是\(f'(a_1) = \prod_{j\neq 1} (a_1-a_j) \neq 0\)

  反之，如果\(f'(x)\)非零，那么\((f'(x), f(x)) = 1\)（\(f(x)\)不可约），那么存在\(u(x)f(x)+v(x)f'(x)=1\)成立，但对于重根\(\beta\)而言，有\(u(\beta)f(\beta)+v(\beta)f'(\beta)=0\)，矛盾

• 然后我们介绍一下书上的证明，感觉涉及到了不同的角度：

  • 设\(a\)是\(f(x) \in K[x]\)在其分裂域\(L\)上的\(k\)重根，那么\(f(x) = (x-a)^k g(x), g(a) \neq 0\)

    此时\(f'(x) = (x-a)^{k-1}(kg(x)+(x-a)g'(x))\)

    如果\(ch(K) \not \mid k\)，则\(a\)是\(f'(x)\)的\(k-1\)重根

    而如果\(ch(K) \mid k\)，则有\(f'(x)=(x-a)^kg(x)\)，\(a\)是\(f'(x)\)的至少\(k\)重根

  从上面的讨论，我们知道，（1）\(a\)是\(f(x)\)的单根的一个充要条件是\(a\)是\(f'(x)\)的零根（2）\(a\)是\(f(x)\)的重根的充要条件是\(a\)是\(f'(x)\)的根

  因此，\(f(x)\)要有重根，必然地需要有\(\deg (\gcd(f(x), f'(x))) > 1\)，再利用\(f(x)\)不可约就不难证明了

有了可分元之后，我们定义可分扩张

如果\(\forall \alpha \in L\)，\(\alpha\)都是\(K\)上的可分元，则称\(L/K\)为可分扩张

对于可分扩张，我们也有一个性质

设\(L/K\)为代数扩张，若\(ch(K)=0\)或者\(|K|<\infty\)，则\(L/K\)为可分扩张

\(ch(K)=0\)时，极小多项式的首项非0

\(|K|<\infty\)时，极小多项式\(f(x) \mid x^{q^n} - x\)，由于\((x^{q^n} - x)' = -1\)（注意到特征的性质），但有重根\(\beta\)时，导数的取值为\(0\)，矛盾

不可分的多项式

设不可约多项式\(f(x) \in K[x]\)不可分，根据上面的讨论，必然有\(ch(K)\)是一个素数\(p\)

由于\(f(x)\)不可分，那么有\(f'(x)=0\)，设\(f(x) = \sum a_ix^i\)，则\(f'(x) = \sum ia_i x^{i-1}\)，于是\(ia_i = 0\)

对\(ch(K) \not \mid i\)的\(i\)，必然有\(a_i = 0\)，于是\(f(x) = g(x^p)\)，\(g\)不可约但是不能确定是否可分

如果\(g\)不可分，我们继续上述讨论，最终可以得到\(f(x) = h(x^{p^e})\)，其中\(h\)是一个可分多项式

写\(h(x) = (x-a_1)...(x-a_n)\)，那么\(f(x) = (x^{p^e} - a_1)...(x^{p^e}-a_n)\)，对\(x^{p^e} - a_1 = 0\)，设其根为\(b_1\)，那么\((x^{p^e} - a_1) = (x^{p^e} - b_1^{p^e}) = (x-b_1)^{p^e}\)，因此\(f(x) = \prod(x-b_i)^{p^e}\)，每个根都将有相同的重数，并且重数形如素数的幂次

单扩张定理

有限可分扩张为单扩张

因为是有限扩张，故存在代数元\(a_1, ..., a_n\)，使得\(L=K(a_1, ..., a_n)\)

尝试利用可分扩张的性质证明，\(\forall a, b \in L, \exist c \in L, K(a, b) = K(c)\)

正规扩张

如果每个\(\alpha \in L\)在\(K\)上的极小多项式\(f(x)\)都可以在\(L[x]\)中分解为一次式的乘积，且不可约多项式\(f(x)\)有一个零点在\(L\)中时，其剩余的所有零点都在\(L\)中时，称\(L/K\)为正规扩张

对于正规扩张，我们有

\(L/K\)为有限正规扩张，当且仅当\(L\)为某个\(f(x) \in K[x]\)的分裂域

商域

对整环\(R\)，我们在\(R \times R^*\)上定义关系\(\sim\)：\((a, b) \sim (c, d) \Leftrightarrow ad = bc\)

不难验证，这是一个等价关系，记\((a, b)\)按照上述关系形成的等价类为分数\(a/b\)

令\(F = \{a/b:a \in R, b \in R^*\}\)，定义\(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}\)以及\(\frac{a}{b} * \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}\)，不难验证，这种加法和乘法的定义是良定义的

并且\(F\)按照上述加法和乘法构成域，我们称其为整环\(R\)的商域

Galois理论

last week

Galois群

如果域扩张\(L/K\)是有限可分正规扩张，则称其为\(K\)的Galois扩张

在其上定义Galois群：\(Gal(L/K) = \{\sigma \in Aut(L): \sigma|_K = I_K\}\)

也就是说，在\(L\)的自同构中，保持\(K\)不变的群

不变域

对\(G \leq Aut(L)\)，定义其不变域为\(Inv(G) = \{a \in L | \forall g \in G, g(a) = a\}\)

不变域确实是一个域

Galois群论基本定理

设\(L/K\)为Galois扩张

• 设\(K \leq M \leq L\)，则\(L/M\)为Galois扩张

  并且\(Gal(L/M) \leq Gal(L/K)\)，\(|Gal(L/M)| = [L:M]\)，\(Inv(Gal(L/M)) = M\)

• 设\(H \leq Gal(L/K)\)，那么设\(M = Inv(H)\)，则\(K \leq M \leq L, Gal(L/M)=H\)

  也就是说，\(Gal(L/K)\)的子群和\(L, K\)的中间域之间存在一个一一对应的关系

• 设\(K \leq M \leq L\)，那么\(M/K\)是正规扩张，当且仅当\(Gal(L/M) \lhd Gal(L/K)\)

  并且当\(M/K\)是正规扩张时，\(Gal(L/K)/Gal(L/M) \cong Gal(M/K)\)

上面这一条建立了正规扩张和正规子群之间的关系

根式可解

设\(K\)为域，\(f(x) \in K[x]\)，如果存在域的扩张链，\(K_0 = K \leq K_1 \leq K_2 ... \leq K_n\)，使得\(K_n\)包含\(f(x)\)的分裂域，并且这些扩张都是根式扩张，则称\(f(x)=0\)在\(K\)上根式可解

根式扩张指的是，对于扩张\(L/K\)，存在\(\alpha \in L\)，使得\(L = K(\alpha)\)且\(\alpha^n = K\)（也就是说，每次添加一个元素的开根）

对于根式扩张，我们由

如果\(L/K\)为根式扩张，那么\(Gal(L/K)\)为Abel群

有了上述定理之后，我们对根式可解进行进一步的考虑，将得到

对\(K_0 = K \leq K_1 \leq K_2 ... \leq K_n\)，其等价于\(Gal(L/K) \rhd Gal(L/K_1) ... \rhd Gal(L/K_n) = \{e\}\)

根据\(Gal(L/K_{i+1})/Gal(L/K_i) \cong Gal(K_{i+1}/K_i)\)是Abel群，于是

\(f(x)=0\)根式可解，当且仅当\(Gal(L/K)\)为可解群

Galois定理

对上面的讨论取一个特殊情况，我们将得到Galois定理，不妨就用这个定理作为这门课的结束吧

设\(K\)为域，\(f(x) \in K[x]\)的分裂域为\(L\)，那么\(f(x) = 0\)在\(L\)上根式可解，当且仅当\(Gal(L/K)\)为可解群

• 对于一般的\(n\)次方程，\(f(x) = x^n + t_1x^{n-1} + ... + t_n = 0\)

  此时，将\(t_1, ..., t_n\)看作字母变量，那么\(f(x) \in K=F[t_1, ..., t_n][x]\)，设其在\(K\)上的分裂域为\(L\)，那么\(Gal(L/K) \cong S_n\)

  由于\(n \geq 5\)时，\(S_n\)不是可解群，因此，五次以上的方程没有通解

Galois无愧于天才之名！