群表示论

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群表示

基本要素

  • 一个群表示包括 \((V, \rho)\)，其中\(V\)是一个线性空间，而\(\rho:G \to GL(V)\)是\(G\)到\(V\)上的一般线性群的群同态

大致就是用线性变换/矩阵来代替群里面的元素，注意不是群同构

比如：\(\rho(g) = I\)是一个平凡的群表示

  • 群表示的同态：对于两个群表示\((V, \rho)\)和\((V', \rho')\)，称\(T\)为同态映射，当且仅当

    1. \(T\)是一个\(V \to V'\)的线性映射

    2. \(T\)满足\(T \circ \rho(g) = \rho'(g) \circ T\)

这个(2)条件可能比较令人困惑，我们作一个解释：不妨设原来的映射关系为\(v \to \rho(g)v\)

那么，在作用\(T\)之后，我们希望作用之后保持上述映射关系，即\(Tv \to T\rho(g)v\)

并且希望作用之后对应的映射由群的同一元素控制，即希望\(T\rho(g)v = \rho'(g)Tv\)，即\(T\rho(g) = \rho'(g)T\)

和抽象代数中类似，当\(T\)可逆时，我们称\(T\)是一个同构映射

如果两个线性变换仅仅是作用的基不同，但对于基的效果是一样的，我们应当认为这是两个相同的线性变换，同理，如果两个群表示仅仅是作用的基不同，也应当被视作相同的群表示，这启发我们给出下面的定义

下面，我们设基\(B = (v_1, ..., v_n), B' = (v_1', ..., v_n')\)

  • 记号：\([T]_{B, B'}\)表关联\(B\)到\(B'\)的\(T\)，形式化的，\((v_1, ..., v_n) [T]_{B, B'} = T (v_1',...,v_n')\)
  • 对于两组基而言，它们之间的过渡矩阵是一个可逆矩阵\(P\)，用上面提到的记号，也就是\(P = [I]_{B,B'}\)
  • 对于两个线性变换，如果我们认为作用在不同基意义下它们相同，这就等同于说明它们对应的矩阵相似，也就是说\(S = P^{-1}TP\)
  • 对于两个群表示，我们称其等价，当且仅当\(\rho(g) = P^{-1} \rho'(g) P, \forall g \in G\)

从群的角度来看，原本的群表示对应了一个矩阵的子群\(M\)，等价则相当于说对应到\(M\)的一个共轭子群

等价是对于矩阵来说的，同构是对于线性变换来说的，在有限维的情况下，两者是可以互相表述的，因此我们有如下观察：同构的群表示自然是等价的，而如果两个群表示等价，那么取相应的过渡矩阵，如果基是有限的，我们又可以得到他们同构，因此，对于有限维来说，同构和等价是一个概念

  • 在给定一组群表示\((V, \rho)\)的情况下，如果对\(W \subseteq V\)，有\(\forall g \in G, \rho(g)(W) \subseteq W\)，那么我们称\(W\)是\(G-\)不变子空间（也就是说，\(G-\)不变子空间是所有群表示中的线性变换的不变子空间的交）

    在上述情况下，把\(\rho\)中元素的定义域限制在\(W\)上，\((W, \rho|_W)\)也构成一个群\(G\)的群表示，称为子表示

当\(W\)是有限维子空间时，注意到\(\rho(g)\)是一个保秩的变换（有逆的存在），因此\(\rho(g)(W) \subseteq W\)实际上等价于\(\rho(g)(W)=W\)

类似于群同态一样，我们可以定义出商表示

  • 对于群表示\((V, \rho)\)和\(V\)的一个子表示\(W\)，定义商表示形如\((V/W, \rho_{V/W})\)，其中\(\rho_{V/W}(g)(v+W)=\rho(g)(v)+W\)

在给定原表示的情况下，只需要给出线性子空间就唯一确定了子表示，因此我们下面直接以线性子空间代指子表示

在给出商表示后，不出意外的，同构定理仍然成立

  • 如果\(T:(V, \rho) \to (V', \rho')\)是一个群表示的同态，那么\(\ker(T)\subseteq V\)和\(im(T)\subseteq V'\)都是子表示

    并且有群表示的同构：\(T':(V/\ker(T), \rho_{V/\ker(T)}) \cong (im(T), \rho'_{im(T)})\)

    同构映射为\(T'(v+W)=T(v)\)

  • 称一个群表示不可约，当且仅当不存在任何非平凡的子表示

    称其为可约，当且仅当其存在一个非平凡的子表示

接下来，我们定义群表示的直和，一般的来说，我们有外直和和内直和的定义

对于内直和，我们运用子表示来定义，即：

  • 对于群表示\((V, \rho)\)和子表示\(V_1, V_2 \subseteq V\)，如果\(V = V_1 \oplus V_2\)，则称群表示\(V\)为子表示\(V_1, V_2\)的内直和， 记为\(V = V_1 \oplus_{int} V_2\)

  • 给定两个群表示\((V_1, \rho_1), (V_2, \rho_2)\)，我们定义\(V = V_1 \oplus V_2, \rho(g)(v_1, v_2) = (\rho_1(g)(v_1), \rho_2(g)(v_2))\)， 称\((V, \rho)\)为外直和，记为\(V = V_1 \oplus_{ext} V_2\)

不难证明，\(V_1 \oplus_{int} V_2 \cong V_1 \oplus_{ext} V_2\)，以后不再区分两个符号

  • 称一个非零群表示是可分解的，当且仅当其是两个群表示的直和，否则称其为不可分解的

  • 称一个群表示半单的或者完全可约的，当且仅当其是若干不可约群表示的直和

下面的讨论默认基于\(\mathbb{C}^n\)进行

直觉可以告诉我们，可分解和可约应当是差不多的概念，我们可以参考如下的定理

  • 对于群表示\(V\)和子表示\(W\)，称\(U\)为\(W\)在\(V\)下的补表示，当且仅当\(V = W \oplus U\)

Maschke's TH：当\(G\)为有限群，\(V\)为有限维域时，补表示一定存在

证明利用了群表示的同构定理，我们考虑构造一个\((V, \rho)\)到\((V, \rho)\)的同态映射，设\(W \subseteqq V\)是任一的一个子表示，具体的，设\(U\)是\(W\)的正交补空间，\(T\)是\(W\)上的投影映射，那么\(T' := |G|^{-1} \sum_{g \in G} \rho(g) \circ T \circ \rho(g)^{-1}\)就是我们需要的同态映射，其中注意到我们使用了\(|G|^{-1}\)这一元素

通过上述定理，当一个（有限）群表示是有限维的，要么他是不可约的，要么他是可约的，从而是可分解的，因此可以表述为若干更小维度的表示的直和，以此类推，有限维群表示一定是完全可约的

Schur's Lemma：对于群\(G\)的两个不可约的群表示\(V,W\)

  • 如果\(T:V \to W\)是一个群表示的同态，那么\(T\)要么是同构，要么是零映射
  • 如果\(V\)是有限维的，并且\(T:V\to V\)是一个群表示的同态，那么存在\(\lambda \in \mathbb{C}\)，使得\(T = \lambda I\)

性质1是好证的，对于性质2，由于\(V\)是有限维的，我们可以找出\(T\)的一个非零的特征值\(\lambda\)，考虑\(T-\lambda I\)符合性质1的条件，并且不是同构，从而是零映射

根据Schur's Lemma，在有限维的情况下，如果一个群表示的同态不是数乘，那么它一定不是不可约的

交换群的群表示

先从一个引理开始

如果\((V, \rho)\)是群\(G\)的群表示，\(z \in C(G)\)，那么\(\rho_z\)是一个\((V, \rho)\)到\((V, \rho)\)的群表示同态

注意到\(\rho(z) \circ \rho(g) = \rho(zg) = \rho(gz) = \rho(g) \circ \rho(z)\)

现在，考虑我们有一个交换群\(G\)，\((V, \rho)\)是一个有限维的不可约的群表示，对于任意\(g \in G\)，\(\rho(g)\)是群表示的同态，根据Schur's Lemma，\(\rho(g)\)是一个数乘，那么以\(V\)中某个向量张成的空间构成一个子表示，从而\(V\)是一维的，这意味着

对于交换群\(G\)，任何有限维不可约子表示都是一维的

特别的

对于有限交换群\(G\)​，任何有限维群表示都是若干一维不可约群表示的直和

根据上述结论，对于循环群\(C_n\)来说，其不可约群表示就是把群中的元素映射到复数上，由于\(C_n\)中的生成元一定要映射到单位根，因此我们恰有\(n\)种不同的群表示，对于有限交换群而言，根据有限交换群结构定理，其必定形如\(C_{i_1} \otimes C_{i_2} ... \otimes C_{i_s}\)，套用循环群的结论，我们可以描述出有限交换群的所有的群表示（在同构意义下）

一维不可约群表示

设\(\varphi\)是一个群同态，\(K \lhd G\)，那么\(\varphi\)可以表述为\(\bar{\varphi} \circ q_K\)（其中\(q_K\)是\(G \to G/K\)的商群映射，\(\bar{\varphi}:G/K \to \text{im}(\varphi)\)）当且仅当\(K \subseteq \ker{\varphi}\)

当\(K \subseteqq \ker \varphi\)时，我们直接定义\(\bar{\varphi}(gK) = \varphi(g)\)即可，反之容易证明

设\(\varphi:G \to \text{im}(\varphi)\)是一个群同态，那么\(\text{im}(\varphi)\)是阿贝尔群，当且仅当\(G' \subseteq \ker \varphi\)

这又等价于\(\varphi\)可以表述为\(\bar{\varphi} \circ q_{G'}\)

第一句话是群论的结论，第二句话则根据上一条引理

占位