实变函数

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重新进行整理，要规范一下自己的符号了...

预备知识——集合论

(Definition)：

  1. 偏序：一种满足弱对称性，传递性，自反性的关系

  2. 全序：任何两个元素都可以比较

  3. 上界：\(x\)称为\(A\)的上界，当且仅当\(\forall y \in A, y \leq x\)

    下界：\(x\)称为\(A\)的下界，当且仅当\(\forall y \in A, y \geq x\)

  4. 最大元，最小元：如果\(A\)的上下界属于\(A\)，那么称其为最大元，最小元

    最大元，最小元如果存在，那么便是唯一的

  5. 上确界，下确界：\(A\)的上界的最小元称为上确界，记为\(\sup A\)，类似的下确界记为\(\inf A\)

  6. 格：如果\(\forall x, y, \sup \{x,y\}\)和\(\inf \{x,y\}\)都存在，那么称\(X\)为格，如果对\(A \subset X\)都满足\(\sup A\)与\(\inf A\)存在，那么称\(X\)为完备格

  7. 示性函数：对\(A \subset X\)，我们称\(1_A(x) = \begin{cases} 1, x \in A\\ 0, x \notin A\end{cases}\)为\(A\)的示性函数

(Definition)：

  1. 集合列的上下极限：定义\(\{A_n\}\)的上极限为\(\lim \sup A_n = \inf_{n} \sup_{k \geq n} A_k = \bigcap_{n} \bigcup_{k \geq n} A_k\)

    下极限为\(\lim \inf A_n = \sup_{n} \inf_{k \geq n} A_k = \bigcup_{n} \bigcap_{k \geq n} A_k\)

  2. 集合列的极限：如果集合列的上下极限相等，那么称其为该集合列的极限，记为\(\lim A_n\)

对于上下极限来说，\(x \in \lim \inf A_n\)，当且仅当\(x\)仅在有限个集合中不出现，\(x \in \lim \sup A_n\)，当且仅当\(x\)在无穷个集合中

(Definition)：

  1. 如果可以建立两个集合的双射，我们称这两个集合有相同的基数，或者等势，记为\(card(A) = card(B)\)
  2. 如果存在\(A \to B\)的单射，那么定义\(card(A) \leq card(B)\)，如果存在\(A \to B\)的满射，那么\(card(A) \geq card(B)\)

有几点需要说明：等势关系是一个等价关系，而基数的\(\leq\)关系构成一个偏序，下面是一些重要的定理

(Cantor-Bernstein)：在承认选择公理的情况下，如果存在\(A \to B\)的单射，满射，那么存在\(A \to B\)的双射

这个定理保证了我们符号系统的合理性

(Cantor)：\(card(A) < card(2^A)\)

这个定理说明了没有最大的势

(Definition)：3. 我们定义\(\aleph_0 = card(\mathbb{N})\)，称具有\(\aleph_0\)基数的集合为可数集，可数集及有限集一起称为至多可数集（有时也省略为可数集）

关于可数集，我们有以下的性质

  1. 任何无限集一定包含一个可数子集
  2. 如果\(\{A_n\}\)为至多可数集，那么\(\bigcup A_n\)为至多可数集
  3. 如果\(\{A_n\}_{n=0}^m\)为有限个至多可数集，那么\(\otimes_{n=1}^m A_n\)也为可数集

下面列举了一些在做题时用的结论

任给\(A \subset\mathbb{R}^n\)，那么\(A\)中孤立点至多可数

证明：\(A \cap B(0, n)\)如果是无限集，根据Bolzano-Weierstrass定理，其必定存在一个聚点，矛盾。而\(A = \bigcup (A \cap B(0, n))\)，从而为可数集

拓扑空间、度量空间

拓扑空间

(Definition)：

  1. 设\(X\)为集合，\(\tau \subset 2^X\)，如果

    • \(\emptyset , X \in \tau\)
    • \(A_1,...,A_n \in \tau\)，则\(\bigcap A_n \in \tau\)，即对有限交封闭
    • 给定指标集\(I\)，\(\forall \alpha \in I, A_{\alpha} \in \tau\)，则\(\bigcup_I A_\alpha \in \tau\)，即对任意并封闭

    则称\((X,\tau)\)为拓扑空间，\(\tau\)称为\(X\)中的开集

下面设\(X,Y\)为拓扑空间

  1. \(A \subset X\)为闭集当且仅当\(A^c=X \setminus A\)为开集

  2. 如果\(A\)的任意开覆盖存在有限子覆盖，则称\(A\)为紧集

  3. 包含\(A\)的闭集的最小元为\(A\)的闭包，记为\(\bar{A}\)，由于闭集对交封闭，这实际上就是包含\(A\)的闭集的交

  4. 被\(A\)包含的开集的最大元为\(A\)的内部，记为\(\mathring{A}\)，这实际上就是被\(A\)包含的开集的并

  5. 如果\(\bar{A} = B\)，则称\(A\)在\(B\)中稠密

  6. 如果\(X\)有可数的稠密子集，则称\(X\)可分

  7. 如果\(f:X\to Y\)满足\(\forall B \in \tau_Y, f^{-1}(B) \in \tau_X\)，即开集的原象是开集，那么称\(f\)为连续映射

  8. 如果集合\(V \subset X\)满足，存在开集\(U \subset X\)，使得\(x \in U \subset V\)，那么\(V\)称为\(x\)在\(X\)中的邻域

    特别的，当\(V\)是开集时，称\(V\)为\(x\)的开邻域

  9. 称\(X\)为Hausdorff的，当且仅当\(\forall x \neq y \in X\)，存在\(x \in U_x, y \in U_y,U_x,U_y \in \tau\)，使得\(U_x \cap U_y = \emptyset\)（任意两个点可以被开集分离）

注意：上述定义在后面的度量空间中是通用的

下面是作业题

  • \(A \subset K\)时，如果\(A\)闭，\(K\)紧，那么\(A\)紧

  • 如果\(A\)紧，\(B\)紧，那么\(A \cup B\)紧

  • 如果\(\{K_{\alpha}\}\)紧，那么\(\bigcap K_{\alpha}\)紧

  • 对Hausdorff空间，如果\(K\)紧，那么\(K\)闭

度量空间

(Definition)：

  1. 设\(X\)为非空集合，如果函数\(d:X^2 \to R_{\geq 0}\)满足

    • 正定性：\(d(x, y) \geq 0\)并且\(d(x, y) = 0\)当且仅当\(x = y\)
    • 对称性：\(d(x, y) = d(y, x)\)
    • 三角不等式：\(d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y)\)

    那么，我们称\((X,d)\)为一度量空间，\(d\)称为距离函数

下面设\(X\)为度量空间

  1. 对\(x \in X, r > 0\)，定义\(B(x,r) := \{y \in X | d(y,x) < r\}\)为开球

    \(\overline{B(x,r)} := \{y \in X|d(x,y) \leq r\}\)为闭球

  2. 如果\(\forall x \in A, \exists c > 0\)，使得\(B(x,c) \subset A\)，则称\(A\)为开集

根据开集的定义，度量空间自然诱导出拓扑空间

并且下面的内点、闭包的概念和拓扑空间内的定义是对应的

  1. 对\(x \in X, \{x_n\} \in X\)，如果\(\lim_{n \to \infty} d(x_n,x) = 0\)，称\(\{x_n\}\)收敛于\(x\)，\(x\)为\(X\)的一个聚点或者极限点，聚点的全体记为\(X'\)，称为\(X\)的导集

  2. 记\(X' \cup X = \bar{X}\)为\(X\)的闭包，\(X/X'\)为\(X\)的孤立点

  3. 对\(x \in X, \exists c > 0, B(x,c) \subset A\)，则称\(x\)为\(A\)的内点，\(A\)的内点的全体记为\(\mathring{A}\)，称为\(A\)的内部

  4. \(\bar{A} / \mathring{A}\)称为\(A\)的边界，记为\(\partial A\)

  5. 如果\(A \subset \mathring{U}\)，则称\(U\)为\(A\)的邻域，特别的，当\(U\)是开集时，称\(U\)为\(A\)的开邻域

  6. 对\(A \subset X\)，定义\(A\)的直径为\(diam(A) := \sup_{x,y} \{d(x,y), x,y \in E\}\)

    如果\(diam(A) < \infty\)，则称\(A\)为有界集

  7. 对\(\{x_n\} \in X\)，如果\(\forall \epsilon > 0\)，\(\exists N \in \mathbb{N}\)，\(\forall m, n \geq N\)，有\(d(x_n,x_m) < \epsilon\)，则称\(\{x_n\}\)为一柯西列

如果\(X\)中任意柯西列收敛，称\(X\)完备

下面是一个经常用到的性质

\(A\)为闭集当且仅当\(\bar{A} = A\)，\(A\)为开集当且仅当\(\mathring{A} = A\)

以及对\(\mathbb{R}\)的讨论：

\(\mathbb{R}\)上的开集可以表示成两两不交的开区间的并

证明：设\(A\)为\(\mathbb{R}\)上的开集，任取\(x \in A\)，定义\(a := \inf\{x_1:(x_1,x) \in A\}, b := \sup \{x_2:(x,x_2) \in A\}\)

考虑\(a_x,b_x\)之间的关系即可，\(\square\)

下面是一些做题用的玩意

  • \(x \in \mathring{A}\)等价于对\(x \in X, \exists c > 0, B(x,c) \subset A\)

  • \(x \in \bar{A}\)等价于\(\forall \delta > 0, B(x, \delta) \cap A \neq \emptyset\)，即任意小的开球都与\(A\)有交

  • \(x \in A/A'\)等价于\(\exists \delta > 0, B(x, \delta) \cap A = \{x\}\)

紧集，列紧集等

(Definition)：设\((X, d)\)为一度量空间，\(M \subset X\)为一集合

  1. 称\(M\)为紧集，当且仅当其任意开覆盖有有限的子覆盖

  2. 称\(M\)为（相对）序列紧集，当且仅当其任意序列有收敛子列，且收敛值在\((X)M\)中

  3. 对\(\epsilon < 0, E \subset M\)，称\(E\)为\(M\)的\(\epsilon-\)网，如果\(M \subset \bigcup_{x \in E} B(x, \epsilon)\)

    称\(M\)为完全有界的（totally bounded），如果\(\forall \epsilon > 0\)，\(M\)存在有限大小的\(\epsilon-\)网

  4. 称\(M\)有闭集有限交性质，如果对任意非空递减闭集列\(M \supset E_1 \supset E_2 ... \supset E_n \supset ...\)，有\(\bigcap_{n=1}^{\infty} E_n \neq \emptyset\)

在\(\mathbb{R}^n\)中，(1)对应有限开覆盖定理，(2)对应收敛子列定理，(4)对应闭区间套

如果\(M\)紧，那么\(M\)为有界闭集

证明：如果\(M\)为紧集，那么\(\{B(x,1)\}_{x \in M}\)构成一个开覆盖，我们取一个有限子覆盖，根据该有限子覆盖易知\(M\)有界。对于闭集，任取\(x \in M^c\)，此时对于\(y \in M\)，存在\(r_x(x,y), r_y(x,y)>0\)，使得\(B(x,r_x(x,y)) \cap B(y, r_y(x,y)) = \emptyset\)，注意到\(\{B(y, r_y(x,y))\}\)为一开覆盖，取其有限子覆盖\(\{y_i\}\)，此时\(B(x, \min_{y_i} r_x(z,y_i)) \subset M^c\)，根据开集的定义，\(M^c\)为开集，从而\(M\)为闭集，\(\square\)

如果\(M\)列紧，那么\(M\)为有界闭集

证明：由于\(M\)列紧，因此\(\bar{M} = M\)，从而\(M\)为闭集

假设\(M\)无界，任取\(x_0\)，之后我们总可以取\(x_i\)，使得\(d(x_i,x_j)> 1, \forall j<i\)，这个序列没有收敛子列从而矛盾，\(\square\)

\((2) \Leftrightarrow (4)\)：\(M\)列紧，当且仅当\(M\)有闭集有限交性质

\(\Rightarrow\)：\(M \supset E_1 \supset E_2 ... \supset E_n \supset ...\)为一非空递减闭集列，任取\(x_n \in E_n\)，那么\(\{x_n\}\)有收敛子列\(\{x_{n_k}\} \to x_0\)

注意到\(\forall n, \forall n_k \geq n, x_{n_k} \in E_n\)，因此\(E_n\)中总有\(\{x_{n_k}\}\)的后无限项，根据\(E_n\)为闭集，\(x_0 \in E_n\)，这也就说明了\(\bigcap E_i \neq \emptyset\)

\(\Leftarrow\)：任取\(\{x_n\} \in M\)，定义\(E_n = \{x_k:k>n\}, F_n = \bar{E_n}\)，那么\(M \supset F_1 \supset F_2 ... \supset F_n \supset ...\)为一非空递减闭集列，根据闭集有限交的定义，取\(x_0 \in \bigcap F_i\)

由于\(x_0 \in \bar{E_1}\)，我们可以取\(x_{n_1} \in E_1\)，使\(d(x_{n_1}, x_0) \leq 1\)，接着，由于\(x_0 \in \bar{E_{n_1}}\)，我们取\(x_{n_2} \in E_{n_1}\)，使\(d(x_{n_2}, x_0) \leq 1/2\)...，依次类推，我们取出了一个子列，并且其收敛到\(x_0\)，\(\square\)

\((2) \Rightarrow (3)\)：\(M\)列紧，那么\(M\)完全有界

反之，\(M\)完全有界，并且\(X\)完备，则\(M\)列紧

\(\Rightarrow\)：反证，如果\(M\)不是完全有界的，那么\(\exists \epsilon > 0\)，使得\(M\)没有有限的\(\epsilon-\)网

任取\(x_1 \in M\)，之后根据上述性质，我们总能选取\(x_i \in M\)，使得\(x_i \in M / \bigcup_{j=1}^{i-1} B(x_j, \epsilon)\)，该序列无收敛子列

\(\Leftarrow\)：任取序列\(\{x_n\}\)，\(M\)完全有界，因此\(M\)有有限的\(1-\)网\(E_1\)，无限序列\(\{x_n\}\)被包含于有限个集合中，一定有一个包含了\(\{x_n\}\)中的无限个元素，记这无限个元素构成新的子列\(\{x_n^1\}\)

对\(\{x_n^1\}\)和\(M\)的\(1/2-\)网\(E_2\)类似的分析，我们可以取出子列\(\{x_n^2\}\)，依次类推，我们可以取出可数个子列\(\{x_n^i\}\)

最终取子列\(\{x_i^i\}\)，注意到我们取的子列满足\(d(x_i^b, x_j^n) \leq \frac{2}{n}\)以及\(x_{i}^{n+m} \in \{x_i^n\}\)，因此有\(d(x_{n+m}^{n+m}, x_n^n) \leq 4/n\)，故这是柯西列，于是收敛，\(\square\)

\((2) \Leftrightarrow (1)\)：\(M\)列紧，当且仅当\(M\)紧

\(\Leftarrow\)：反证，假设\(M\)不满足闭集有限交性质，即\(M \supset E_1 \supset E_2 ... \supset E_n \supset ...\)为一非空递减闭集列，假设\(\bigcap E_n = \emptyset\)，此时\(M \subset X = (\bigcap E_n)^c = \bigcup E_n^c\)，于是\(M\)有开覆盖，进而有有限子覆盖\(\{E_{i}^c\}_{i=1}^N\)（这里我们取遍有限子覆盖中编号最大的集合，仍得到一个有限子覆盖）

\(M \subset \bigcup^N E_i^c\)，进而\(M^c \supset (\bigcup^N E_i^c)^c = \bigcap^N E_i = E_N\)，这于\(M \supset E_N\)矛盾

  • (Lebesgue number lemma) 如果\(M\)列紧，那么对任意\(M\)的开覆盖\(\{E_{\alpha}\}_{\alpha \in I}\)，存在\(\delta > 0\)，使得\(\forall x \in M, B(x, \delta) \subset E_{\alpha}\)，对于某个\(\alpha \in I\)

证明：反证，\(\forall n \in N, \forall \alpha \in I, \exists x_n, B(x_n, 1/n) \not\subset E_{\alpha}\)，取\(\{x_n\}\)的收敛子列\(\{x_{n_k}\} \to x_0\)

由于\(x_0 \subset \bigcup_{\alpha \in I} E_{\alpha}\)，因此\(\exists \alpha_0\)，使\(x_0 \in E_{\alpha_0}\)，根据开集的性质，\(\exists \delta_0, B(x_0, \delta_0) \subset E_{\alpha_0}\)

我们取\(k_0\)，使得\(d(x_{n_{k_0}}, x_0) < \delta_0/2,1/n_{k_0} < \delta_0/2\)，此时有\(B(x_{n_{k_0}}, 1/n_{k_0}) \subset B(x_0, \delta_0) \subset E_{\alpha_0}\)，矛盾! \(\square\)

\(\Rightarrow\)：根据\(M\)完全有界以及Lebesgue number lemma，我们不难取出一个有限开覆盖\(M \subset\{E_{\alpha}\}\)，\(\square\)

Urysohn's Lemma

(Definition)：设\(X\)是度量空间，对\(E \subset X\)，称\(d_E:X \to \mathbb{R}, d_E(x) = \inf \{ d(x,y):y \in E\}\)为\(E\)上的距离函数

  • \(x \in \bar{E}\)，当且仅当\(d_E(x)= 0\)
  • \(d_E\)是\(X\)上的Lip常数为\(1\)的Lipschitz函数，即\(|d_E(x)-d_E(y)| \leq d(x,y)\)

按定义写易证

(Urysohn's Lemma for metric spaces) 设\((X, d)\)是度量空间，\(A,B \subset X\)且\(A,B\)为闭集，\(A \cap B = \emptyset\)，那么存在一个连续函数\(f : X \to [0,1]\)，使得\(f|_A = 0, f|_B = 1\)

证明：取\(f(x) = d_A(x) / (d_A(x) + d_B(x))\)即可

这也就说，在度量空间中，我们存在一个标记两个闭集\(A,B\)的函数的连续函数的近似，\(\square\)

(Definition)：

  1. 对于拓扑空间\((X, \tau)\)，称其为正规的，如果对任意两个闭集\(A,B\)，\(A \cap B = \emptyset\)，存在\(A,B\)的邻域\(U,V\)，使得\(U \cap V = \emptyset\)

  2. 拓扑空间称为局部紧的（locally compact），当且仅当\(\forall x \in X,\)，存在\(X\)的一个紧的开邻域

  3. 对\(f:X \to \mathbb{R}\)，称\(\text{supp} f := \overline{\{x \in X:f(x) \neq 0\}}\)为\(f\)的支集（注意这里取了一个闭包）

  4. 称\(C_c(X)\)为\(X\)上有紧支集的连续函数的全体

也就是说，正规等价于说可以用开集来分离两个闭集，而Urysohn引理给出了正规拓扑空间的一种优美的刻画

(Urysohn's Lemma for Topological spaces) \(\forall A, B \;closed\subset X\)，\(A \cap B = \emptyset\)，存在连续函数\(f:X \to [0,1]\)，使得\(f(A) = \{0\}, f(B)=\{1\}\)

我们通过下面这些命题来证明Urysohn's Lemma

  • 拓扑空间\((X, \tau)\)是正规的，当且仅当\(\forall A\;closed \subset U\;open\subset X\), \(\exists V\;open\)，使得\(A \subset V \subset \bar{V} \subset U\)

  • 如果\(X\)是局部紧的Hausdorff空间，如果\(K\;compact \subset U\;open \subset X\)，那么\(\exists V\;open\) 使得 \(K \subset V \subset \bar{V} \subset U\) 并且\(V\;open, \bar{V}\;compact\)

  • 设\(X\)是局部紧的Hausdorff空间，\(K\;compact \subset V\;open \subset X\)，那么存在\(f \in C_c(X)\)，使得\(1_K \leq f \leq 1_V\)

连续

(Definition)：1. 对\(x \in X\)，如果对任一\(f(x)\)的开邻域\(F\)，均有\(f^{-1}(F)\)包含\(x\)的开邻域，那么称\(f\)在\(x\)这一点连续

\(f:X\to Y\)连续当且仅当\(f\)在每一点都连续

证明：\(\Rightarrow\)显然，\(\Leftarrow\)只需要知晓\(f^{-1}(F) = \bigcup_{x \in F} U_x\)即可

在度量空间中，由于开集采用开球来定义，我们可以给出度量空间中的连续的定义

当\(X，Y\)为度量空间时，\(f:X \to Y\)在点\(x_0\)处连续当且仅当\(\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0\)，使得\(\forall x \in B(x_0, \delta)\)，有\(f(x) \in B(f(x_0), \epsilon)\)

而在\(\mathbb{R}\)中，任何开集都是若干不交的开区间的并，因此

对度量空间\((X, d)\)，\(f:X\to [-\infty, \infty]\)连续当且仅当\(\forall -\infty \leq a \leq b \leq \infty\)，有\(f^{-1}(L)\)为\(X\)中开集，其中\(L\)为任一开区间，即形如\((a,b), (a,+\infty], [-\infty, b)\)的区间

(Definition)：

  1. 在拓扑空间\((X,\tau)\)中，\(f:X \to \mathbb{R}\)

    如果\(\{f(x) > \alpha\}\)是开集，\(\forall \alpha \in \mathbb{R}\)，那么我们称\(f(x)\)是下半连续的

    如果\(\{f(x) < \alpha\}\)是开集，\(\forall \alpha \in \mathbb{R}\)，那么我们称\(f(x)\)是上半连续的

如果一个函数同时上半连续和下半连续，那么我们自然希望它是连续的

如果\(f:X \to \mathbb{R}\)上半连续并且下半连续，那么\(f\)连续

证明：\(\Leftarrow\)显然，\(\Rightarrow\)考虑\((a,b) = (a, +\infty) \cap (-\infty, b)\)即可

如果\(\{f_{\alpha}\}\)是一族下半连续函数，那么\(\sup f_{\alpha}\)也是下半连续函数

如果\(\{f_{\alpha}\}\)是一族上半连续函数，那么\(\inf f_{\alpha}\)也是上半连续函数

注意到\(\{\sup f_{\alpha} > a\} = \bigcup \{f_{\alpha} > a\}\)

\(f\)下半连续当且仅当\(\forall x \in X\)，\(\lim \inf_{y \to x} f(y) \geq f(x)\)

\(f\)上半连续当且仅当\(\forall x \in X\)，\(\lim \sup_{y \to x} f(y) \leq f(x)\)

只证明第一条

\(\Rightarrow\)：注意到\(\lim \inf_{y \to x} f(y) = \sup_{\delta > 0} \inf_{B(x, \delta)} f(y)\)

那么只需证明\(\forall \epsilon>0, \exists \delta>0\)，使得\(\inf_{B(x,\delta)} f(y) \geq f(x) - \epsilon\)

\(\{f>f(x)-\epsilon\}\)是一个包含\(x\)的开集，因此存在相应的\(\delta\)的选取来满足我们的需求

\(\Leftarrow\)：考虑\(\{f(x)>a\}\)，有\(\lim \inf_{y \to x} f(y) \geq f(x) > a\)，因此\(\sup \inf f(y) > a\)

那么存在\(\delta>0\)，使得\(\inf_{B(x,\delta)} f(y) > a\)，即\(B(x,\delta) \subset \{f(x)>a\}\)，这就说明\(\{f(x)>a\}\)是开集，\(\square\)

可测空间、测度空间

可测空间

(Definition)：

  1. 设\(X\)是一个非空集，\(\Gamma \subset 2^X\)，如果

    • \(X \in \Gamma\)
    • \(A \in \Gamma \Rightarrow A^c \in \Gamma\)
    • \(\{A_n\} \in \Gamma \Rightarrow \bigcup A_n \in \Gamma\)，对可数并封闭

    则称\(\Gamma\)是\(X\)上的\(\sigma-\)代数

\(\sigma-\)代数对交封闭，即

如果\(\{\Gamma_i\}_{i \in I}\)为\(X\)上的\(\sigma-\)代数族，那么\(\bigcap_{i \in I} \Gamma_i\)为\(X\)上的\(\sigma-\)代数

(Definition)：2. 如果\(\Gamma\)为\(\sigma-\)代数，称\(\Gamma\)中元素为\(X\)中的可测集，此时，称\((X,\Gamma)\)为可测空间

可测空间对补集，可数并操作封闭，因而对差集，可数交都封闭

特别的，如果\(\{A_n\} \in \Gamma\)，那么\(\lim \inf A_n \in \Gamma, \lim \sup A_n \in \Gamma\)

(Definition)：3. 如果\((X,\Gamma)\)为可测空间，\((Y,\tau)\)为拓扑空间，\(f:X\to Y\)，如果\(\forall V \in \tau, f^{-1}(V) \in \Gamma\)，则称\(f\)为可测映射（开集的原像为可测集）

(Definition)：4. 设\(X\)非空，\(S \subset 2^X\)，称包含\(S\)的最小的\(\sigma-\)代数为\(S\)生成的\(\sigma-\)代数，记为\(\sigma(S)\)，由于\(\sigma-\)代数对交封闭，故事实上，\(\sigma(S) = \bigcap_{\Gamma \;is\;\sigma-algebra, S \subset \Gamma} \Gamma\)

(Definition)：5. 设\((X, \tau)\)为拓扑空间，记\(\sigma(\tau)\)为该拓扑空间上的Borel代数，记为\(\mathscr{B}(x)\)，\(\mathscr{B}(x)\)中的元素称为Borel集，可数个闭集的并是Borel集，称其为\(F_{\sigma}\)集，可数个开集的交是Borel集，称其为\(G_{\delta}\)集

(Definition)：6. 设\(X,Y\)为拓扑空间，\(f:X\to Y\)，如果\(\forall V \in \tau_Y, f^{-1}(V)\)是\(X\)中的Borel集，称\(f\)为Borel可测（开集的原像为Borel集）

关于Borel集，我们介绍一些简单的性质

设\((X,\Gamma)\)为可测空间，\((Y,\tau)\)为拓扑空间，\(f:X\to Y\)，那么

  • \(\{F\subset Y:f^{-1}(F) \in \Gamma\}\)是\(\sigma-\)代数，即原像为可测集的集合构成\(\sigma-\)代数
  • 如果\(f\)可测且\(F \subset Y\)为Borel集，那么\(f^{-1}(F) \in \Gamma\)，即Borel集在可测映射下的原像为可测集
  • 如果\(f\)可测，\(g:Y\to Z\)为Borel可测，那么\(g\circ f:X\to Z\)可测

值域为实数的讨论

接下来，我们考虑更具体的值域\(f:X \to [-\infty, +\infty]\)

假设\(f:X\to (-\infty, +\infty)\)，那么\(f\)可测等价于\(\forall a \in (-\infty, +\infty), \{x:f(x)>a\}\)为可测集

证明：\(\Rightarrow\)是显然的，我们考虑\(\Leftarrow\)

由于\((a,+\infty)\)为可测集，因此\([a,+\infty) = \bigcap_{n=1}^{\infty} (a+\frac{1}{n},+\infty)\)也为可测集，其补集\((-\infty, a)\)也为可测集

此时，\((\alpha, \beta) = (\alpha, +\infty) \cap (-\infty, \beta)\)为可测集，形如\((\alpha,\beta]\)的区间也是类似的

下面则是关于可测函数的性质

假设\(\{f_n\}:X\to [-\infty, +\infty]\)是一个可测函数列，那么

  • \(\sup f_n := (\sup f_n)(x) = \sup f_n(x)\)为可测函数
  • \(\inf f_n := (\inf f_n)(x) = \inf f_n(x)\)为可测函数
  • \((\lim \sup f_n)(x) = \inf_{k \geq 1} \sup_{n\geq k} f_n(x)\)为可测函数
  • \(\lim \inf f_n\)为可测函数

证明：只证明第一条，注意到\(\{\sup f_n(x)>a\} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \{f_n(x)>a\}\)为可测集，根据之前的引理即证

(Corollary)：1. 如果\(\{f_n\}\)可测，并且收敛到\(f\)，那么\(f\)可测

(Corollary)：2.当\(f, g\)可测时，\(\max \{f,g\}, \min \{f,g\}\)可测

根据以上的推论，我们可以将一个函数\(f\)分解为\(f^+\)和\(f^{-}\)，其中\(f^+ = \max \{f,0\}, f^{-}=-\min\{f,0\}\)，那么\(f=f^+-f^-\)，并且\(f^+,f^- \geq 0\)

测度空间

(Definition)：

  1. 设\((X,\Gamma)\)为可测空间，非负函数\(\mu: \Gamma \to [0,+\infty]\)称为\(X\)上的正测度，当且仅当\(\mu\)满足可列可加性：

如果\(\{A_n\} \in \Gamma\)是一列两两不交的可测集，那么\(\mu(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n)\)

在有测度的情况下，我们称\((X,\Gamma,\mu)\)为测度空间

特别的，对于测度而言，\(\mu=+\infty\)是一个平凡的测度，不失一般性，我们假设至少存在一个可测集\(E\)，使\(\mu(E)\neq +\infty\)

在上述假设下，对于测度空间\((X,\Gamma,\mu)\)，我们有以下的普适结论

  • \(\mu(\emptyset) = 0\)
  • 如果\(A_1,...,A_n\)为两两不交可测集，那么\(\mu(\bigcup_{i=1}^n A_i) = \sum_{i=1}^n \mu(A_i)\)
  • 如果\(A \subset B\)且\(A,B\)可测，那么\(\mu(A) \leq \mu(B)\)
  • 如果\(\{A_n\}\)是递增的可测集列，那么\(\mu(A_n) \to \mu(\lim A_n)\)
  • 如果\(\{A_n\}\)是递减的可测集列，并且\(\mu(A_1) < +\infty\)，那么\(\mu(A_n) \to \mu(\lim A_n)\)

对于性质4的证明，我们可以考虑设\(B_n = A_n \setminus \bigcup_{i=1}^{n-1} A_i\)之后，运用可列可加性