实变函数2
Lebesgue积分
简单函数
(Definition)：1. 设\((X,\Gamma)\)为可测空间，\(S:X\to (-\infty, +\infty)\)称为简单函数，当且仅当\(S(X)\)为有限集
对简单函数\(S:X\to(-\infty, +\infty)\)，设\(S(X)=\{\alpha_1,...,\alpha_n\}\)，再设\(A_i = S^{-1}(\{\alpha_i\})\)
那么\(S=\sum_{i=1}^n \alpha_i 1_{A_i}\)，并且\(S\)可测当且仅当\(A_1,...,A_n\)为可测集
只证明第二个命题的\(\Leftarrow\)方向，此时，任何一个开区间的原像是若干\(A_i\)的并，从而仍然为可测集
下面是较为重要的简单函数逼近的构造
如果\(f:X\to [0,+\infty]\)是可测函数，那么存在非负简单函数列\(\{S_n\}\)，使得
- \(0\leq S_1 \leq S_2 ... \leq f\)
- \(S_n(x) \to f(x), \forall x \in X\)
证明：构造\(S_n(x) := \begin{cases} &\frac{k-1}{2^n}, &\frac{k-1}{2^n} \leq f(x)\leq \frac{k}{2^n}, k\in \{1,...,n2^n\} \\ &n, &f(x)\geq n\end{cases}\)即可，\(\square\)
注意到在上述构造中，我们保持了\(S_n \leq n\)
非负函数的积分
(Definition)：
非负简单函数的积分：设\((X,\Gamma,\mu)\)是一个测度空间，\(S:X\to[0,+\infty]\)是一个可测简单函数，写为\(S = \sum_{i=1}^n \alpha_i 1_{A_i}\)，那么，定义\(S\)在\(X\)上的Lebesgue积分为\(\int_X S \text{d} \mu = \sum_{i=1}^n \alpha_i \mu(A_i)\)，对于任给的\(E \in \Gamma\)，定义\(S\)在\(E\)上的Lebesgue积分为\(\int_E S \text{d} \mu = \sum_{i=1}^n \alpha_i \mu(A_i \cap E)\)
非负函数的积分：对测度空间\((X,\Gamma,\mu)\)，非负可测函数\(f:X\to[0,+\infty]\)，对\(E\in \Gamma\)，定义\(f\)在\(E\)上积分为
\(\int_E f \text{d} \mu = \sup \{\int_E S \text{d} \mu : 0 \leq S \leq f, S \;is\;simple\;and\;measurable\}\)
可测函数的积分：对于一般的可测函数\(f\)，我们将其写为\(f=f^+-f^-\)，如果\(\int_E f^+ \text{d} \mu\)和\(\int_E f^{-} \text{d} \mu\)中至少有一个是有限的，我们就定义\(\int_E f\text{d}\mu = \int_E f^+ \text{d} \mu-\int_E f^{-} \text{d} \mu\)，否则，我们称\(f\)的积分无定义
在目前这个阶段，我们能证明Lebesgue积分的一些最简单的性质
设\((X,\Gamma,\mu)\)为测度空间，\(E,F\)为可测集，\(f,g\)为非负可测函数
- 如果\(0 \leq f \leq g\)，那么\(\int_E f \text{d} \mu \leq \int_E g\text{d} \mu\)
- 如果\(E \subset F\)，那么\(\int_E f \;\text{d}\mu \leq \int_F f\;\text{d} \mu\)
- 如果\(\alpha \in (0,+\infty)\)，那么\(\int_E \alpha f\text{d} \mu = \alpha \int_E f\text{d}\mu\)
- 如果\(f|_E = 0\)或者\(\mu(E)=0\)，那么\(\int_E f \text{d} \mu = 0\)
- 如果\(E \subset X\)，那么\(\int_E f \text{d} \mu = \int_X f 1_{E} \text{d} \mu\)
我们对最后一条作出证明：\(\int_X f 1_{E} d \mu = \sup_{0 \leq S \leq f1_{E}} \int_X S d \mu = \sup_{S} \sum \alpha_i \mu(A_i)\)
对\(x \in A_i \setminus E\)，\(\alpha_i = S(x) \leq f1_{E}(x)=0\)，因此\(A_i \subset E\)
此时，\(\sup_{S} \sum \alpha_i \mu(A_i) = \sup_{S \leq f1_{E}} \sum \alpha_i \mu(A_i \cap E) \leq \sup_{S \leq f} \sum \alpha_i \mu(A_i \cap E) = \int_E f d \mu\)
另一方面，\(\int_E f d \mu = \sup \int_E S d \mu = \sup_{0\leq S \leq f} \int_X S1_{E} d \mu\)
\(= \sup_{0\leq S1_{E} \leq f1_{E}} \int_X S1_{E} d \mu \leq \sup_{0\leq S \leq f1_{E}} \int_X S d \mu= \int_X f1_{E} d \mu\)，\(\square\)
Lebesgue Monotone convergence Theorem
下面几个定理都非常重要，因此证明会写的比较详细
(Lebesgue Monotone convergence Theorem，单调收敛定理)：设\(\{f_n\}\)为\(X\)上的可测函数列，并且\(0 \leq f_1 \leq f_2 ... \leq f_n \leq ... \leq +\infty\)，并且\(\forall x \in X, \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)\)，那么\(f\)非负可测，并且\(\lim_{n \to \infty} \int_X f_n \text{d} \mu = \int_X f\text{d}\mu\)
证明：根据之前的讨论，可测函数的极限是可测函数，因此\(f\)非负可测，下面证明\(\lim \int f_n = \int f\)
- Lemma：如果\(S\)是简单函数，那么\(\varphi(E):=\int_E S d \mu\)是测度
引理证明：只需证明可列可加性，假设\(\{E_n\} \in \Gamma\)并且\(E_i \cap E_j = \emptyset\)
那么\(\varphi(\bigcup E_n) = \sum \alpha_i \mu(A_i \cap \bigcup E_n) = \sum \alpha_i \mu(\bigcup (A_i \cap E_n)) = \sum \alpha_i \sum_j \mu(A_i \cap E_j) = \sum \varphi(E_n)\)，\(\square\)
注意到\(\int f_1 \leq \int f_2 ... \leq \int f_n \leq ...\)，因此\(\lim \int f_n \leq \int f\)，只需证\(\int f \leq \lim \int f_n\)，这等价于证明对\(0 \leq S \leq f\)的简单函数\(S\)有\(\int S \leq \lim \int f_n\)
固定\(C \in (0,1)\)，设\(E_n := \{f_n(x)>C \cdot S(x)\}\)，那么\(E_n\)可测，并且\(E_n \subset E_{n+1}\)且\(X = \bigcup E_n = \lim E_n\)
那么，\(\int_X f_n \geq \int_{E_n} f_n > C \int_{E_n} S = C \varphi_S(E_n)\)，其中\(\varphi_S\)是根据引理定义出的测度，根据测度的极限性质，我们有\(\lim \int_X f_n \geq C \varphi_S(X) = C \int S\)，此时令\(C \to 1\)，我们得到\(\lim \int_X f_n \geq \int S\)，\(\square\)
级数作为收敛的一种特殊情况，我们单独列出
设\(\{f_n\}\)非负可测，那么\(\int_X \sum f_n d \mu= \sum \int_X f_n d \mu\)
在有了单调收敛定理之后，我们可以证明更普遍的性质，比如可加性
如果\(S_1,S_2\)为简单可测函数，那么\(\int(S_1 + S_2) = \int S_1 + \int S_2\)
如果\(f,g\)为非负可测函数，那么\(\int (f+g) = \int f + \int g\)
证明第一条性质只需注意到\(\int(S_1+S_2) = \sum (\alpha_i + \beta_j) \mu(A_i \cap B_j)\)，\(\int S_1 = \sum \alpha_i \mu(A_i \cap B_j)\)即可
第二条性质可以用简单函数来逼近非负可测函数，之后使用单调收敛定理
设\(f\)为非负可测函数，定义\(\varphi(E) = \int_E f\)，那么\(\varphi\)为正测度，并且对任意非负函数\(g\)，\(\int g d \varphi = \int g f d \mu\)
证明：设\(\{E_n\}\)两两不交，那么\(\varphi(\bigcup E_n) = \int f 1_{\bigcup E_n} = \int f \sum 1_{E_n} = \int \sum f1_{E_n}\)，根据级数的收敛定理，我们有\(\int \sum f1_{E} = \sum \int f1_{E} = \sum \varphi(E_n)\)，这就说明\(\varphi\)是正测度
对于非负简单函数\(S\)，我们证明\(\int S d \varphi = \int S f d \mu\)，\(\int S d \varphi = \sum \alpha_i \int_{A_i} f d \mu = \sum \alpha_i \int_X f1_{A_i} d \mu\)
\(= \int_X f \sum \alpha_i 1_{A_i} d \mu = \int_X f Sd \mu\)，对于非负函数，我们取简单递增函数逼近，运用单调收敛定理即可，\(\square\)
Lebesgue积分的性质
(Definition)：1. 设\(f\)可测，如果\(\int |f| < +\infty\)，那么称\(f\)为Lebesgue可积，可积函数的全体记为\(L^1(X,\mu)\)
从现在开始，我们将在\(L^1\)空间中进行研究，设\(f,g \in L^1\)
\(\int_E f d\mu = \int_X f1_{E} d\mu\)
特别的，由于\(1_{B} = 1_{A} + 1_{B/A}\)，因此\(\int_B f = \int_A f + \int_{B/A} f\)
\(|\int f| \leq \int |f|\)
\(\alpha f + \beta g \in L^1\)，并且\(\int \alpha f + \beta g = \alpha \int f + \beta \int g\)
对于性质1的证明，考虑把\(f\)的正部和负部拆开证明，一个小细节是注意\((f1_{E})^+ = f^+ 1_{E}\)
对于性质2的证明，\(\int |f| = \int f^+ + \int f^-\)，而\(|\int f| = |\int f^+ - \int f^-|\)，根据三角不等式即可证明
性质3实际上告诉我们，\(L^1\)是一个线性空间
Lebesgue Dominated convergence Theorem
(Lebesgue Dominated convergence Theorem，控制收敛定理)：设\(\{f_n\}\)可测，如果\(f_n \to f\)，且存在\(g \in L^1(X,\mu)\)使得\(|f_n| \leq g\)，那么\(f \in L^1(X,\mu)\)，并且\(\lim \int_X f_n d \mu = \int_X f d \mu\)
证明：由于\(|f_n| \leq g\)，因此\(|f| \leq g\)，于是\(\int |f| \leq \int g < +\infty\)，因此\(f \in L^1\)
此时，\(|f_n - f| \leq 2g\)，因此\(2g - |f_n - f|\)非负可测
- (Fatou's Lemma)：设非负函数族\(\{f_n\}\)可测，那么\(\int_X \lim \inf f_n d\mu \leq \lim \inf \int_X f_n d\mu\)
证明：令\(g_n = \inf_{k \geq n} f_k\)，那么\(g_n\)可测，\(g_n \leq f_n\)，\(g_n \leq g_{n+1}\)，并且\(\lim \inf f_n = \lim g_n\)
根据单调收敛定理，\(\lim \int g_n = \int \lim g_n = \int \lim \inf f_n\)，故只证\(\lim \int g_n \leq \lim \inf \int f_n\)
而\(\lim \inf \int f_n \geq \lim \inf \int g_n = \lim \int g_n\)，\(\square\)
对\(\{2g-|f_n-f|\}\)运用Fatou's Lemma，我们得到\(\int \lim \inf 2g-|f_n-f| \leq \lim \inf \int 2g-|f_n-f|\)
注意到\(\lim \inf 2g-|f_n-f| = 2g\)，而\(\lim \inf \int 2g-|f_n-f| = \int 2g - \lim \inf \int|f_n-f|\)
因此我们得到\(\lim \inf -|f_n-f| \geq 0\)，即\(\lim \sup\int |f_n-f| =0\)，从而\(\lim \int|f_n-f|=0\)
最终，\(|\lim \int f_n - \int f| = |\lim(\int f_n-f)| \leq \lim \int |f_n-f|=0\)，\(\square\)
根据控制收敛定理，我们又能得到一些结论
设\(f\)为可积函数，定义\(\varphi(E) = \int_E f\)，那么\(\varphi\)为实测度
这个证明和前面非负函数的证明是类似的，不过使用控制收敛定理而不是单调收敛定理
以及著名的积分的绝对连续性
(积分的绝对连续性)：如果\(f \in L^1(X,\mu)\)，那么\(\forall \epsilon>0, \exists \delta>0\)，对\(\mu(E)<\delta\)的\(E\)，有\(\int_E |f| d\mu < \epsilon\)
证明：任给\(\epsilon > 0\)，存在\(n\)以及简单可测函数\(0 \leq S_n \leq \max(n,|f|)\)，使得\(\int |f| - \int S_n < \epsilon / 2\)
取\(\delta = 1/2n\)，那么\(\int_E |f| = \int_E S_n + \int_E (|f|-S_n) < n * \delta + \epsilon / 2 = \epsilon\)，\(\square\)
零测集的讨论
(Definition)：
如果\(\mu(E)=0\)，那么称\(E\)为零测集
对可测函数\(f,g\)，如果\(\mu(\{f \neq g\}) = 0\)，那么称\(f,g\)几乎处处相等，也可以说\(f=g\)对几乎所有\(x\)成立
不难证明，\(f,g\)几乎处处相等是一个等价关系
如果可测函数\(f,g\)相差一个零测集，那么\(\int_E f = \int_E g, \forall E \in \Gamma\)，因此零测集一般不影响积分的结果。但这个结论并不能使人满意：和可测函数\(f\)相差一个零测集的函数并不一定是可测函数，为此，我们引入完备化的定义
(Definition)：
- 设\((X,\Gamma, \mu)\)是测度空间，定义\(\Gamma\)的完备化为
\(\Gamma^* = \{E \subset X, \exists A, B \in \Gamma, s.t. A \subset E \subset B, \mu(B\setminus A)=0\}\)，那么\(\Gamma^*\)是\(\sigma-\)代数
此时，补充定义\(\mu(E) = \mu(A)\)，我们得到了\((X,\Gamma^*, \mu)\)，我们称其为完备化的测度空间
在完备化的测度空间下，任意修改一个零测集的取值，不会修改一个函数的积分值
- 如果\(f:X\to [0,\infty]\)可测，\(\int_E f d \mu = 0\)，那么\(f\)在\(E\)上几乎处处为\(0\)
- 如果\(f \in L^1(X, \mu)\)并且\(\forall E, \int_E f d \mu = 0\)，那么\(f\)在\(X\)上几乎处处为\(0\)
- 如果\(f \in L^1(X, \mu)\)且\(|\int_X f d \mu| = \int_X |f| d\mu\)，那么\(f \geq 0\)或者\(f \leq 0\)在\(X\)上几乎处处成立
性质1的证明用到一个技巧，考察集合\(\{f>1/n\}\)的测度，性质2，3都是性质1的推论
在这一节的末尾，我们证明控制收敛定理的一个强大的扩展版本，这个定理来源于严加安《测度论讲义》的定理3.2.7
设\(\{f_n\} \in L^1\)，且\(f_n \to f\)几乎处处收敛，再设\(\{g_n\},g \in L^1_+\)，\(g_n \to g\)几乎处处收敛，\(\int g_n \to \int g\)并且\(|f_n| \leq g_n\)几乎处处成立，那么\(\lim \int |f_n -f|\to 0\)
如果令\(g_n = g\)，那么我们就得到了控制收敛定理
证明：将所有的几乎处处成立的集合取交，我们得到的是一个所有性质都成立的集合，这个集合和\(X\)只相差一个零测集，在这个集合上，我们进行讨论
由于\(|f_n| \leq g_n\)，因此\(|f| \leq g\)，那么\(h_n = g_n + g - |f_n - f| \geq 0\)，对\(h_n\)运用Fatou's Lemma，我们得到\(\lim \sup \int |f_n -f| = 0 = \lim \int|f_n - f|\)
收敛性
(Definiiton)：对于测度空间\(X\)，\(\{f_n\}\)收敛，我们可以定义如下的几种收敛模式
处处收敛：\(\forall x, f_n(x) \to f(x)\)
几乎处处收敛：\(\mu(\{f_n(x) \not\to f(x)\}) = 0\)
一致收敛：\(\forall \epsilon > 0, \exists N, \forall n>N, |f_n(x)-f(x)| < \epsilon\)
\(L^1\)收敛：当\(\{f_n\},f \in L^1(X,\mu)\)时，\(f_n \to f\)以\(L^1\)收敛当且仅当\(\int_X |f_n-f|\to 0\)）
（实际上也就是以\(L^1\)范数收敛）
依测度收敛：\(\forall \epsilon, \mu(\{|f_n(x)-f(x)|>\epsilon\})\to 0\)
近一致收敛：\(\forall \epsilon, \exists \mu(E)<\epsilon\)，使\(f_n \to f\)在\(X \setminus E\)上一致收敛
下面是一些显然的关系
\((3)\Rightarrow(1)\Rightarrow (2)\)，\((3) \Rightarrow (6)\)
接下来，我们探讨一些不显然的关系，除了我们列举的关系以外，其余的关系一般不成立
\((4) \Rightarrow (5)\)：如果\(\{f_n\}\)依\(L^1\)收敛，那么\(\{f_n\}\)依测度收敛
证明：\(\forall \epsilon > 0\)，如果\(f_n \to f\)以\(L^1\)收敛，那么\(\int_X|f_n-f| \to 0\)
注意到\(\mu(\{|f(x)|>\alpha\}) \leq \frac{1}{\alpha} ||f||_1\)，因此\(\mu(\{|f_n-f| > \epsilon\}) \leq \frac{1}{\epsilon} ||f_n-f||_1 \to 0\)，\(\square\)
其中用到的不等式\(\int_X |f| \geq \alpha \mu(|f| > \alpha)\)一般被称为Markov不等式，\(\square\)
接下来，我们会讨论几乎处处收敛，近一致收敛，依测度收敛之间的关系
\((6) \Rightarrow (2), (5)\)：如果\(f_n \to f\)近一致收敛，那么\(f_n \to f\)几乎处处并且依测度收敛
这就是说近一致收敛是这三者之中最强的
证明：\(\forall \epsilon\)，存在\(\mu(E) < \epsilon\)，\(f_n \to f\)在\(X \setminus E\)上一致收敛，那么\(\{f_n \not\to f\} \subset E\)，于是\(\mu(\{f_n \not \to f\}) \leq \mu(E) < \epsilon\)，令\(\epsilon \to 0\)，我们得到\(\mu(\{f_n \not\to f\}) = 0\)，即\(f_n \to f\)几乎处处收敛
固定\(c\)，当\(n\)足够大时，\(\{|f_n-f| \geq c\} \subset E\)，那么\(\lim \mu(\{|f_n-f| \geq c\}) \to 0\)，即\(f_n\to f\)依测度收敛，\(\square\)
如果加上了\(\mu(X)<\infty\)的条件，我们可以证明几乎处处收敛和近一致收敛是一致的
在\(\mu(X)<\infty\)时，\((2) \Rightarrow (6)\)：如果\(\mu(X) < \infty\)并且\(f_n \to f\)几乎处处收敛，那么\(f_n\to f\)近一致收敛
证明：我们需要若干引理来证明这个命题
- Lemma 1：如果\(\mu(X)<\infty\)并且\(f_n \to f\)几乎处处收敛，那么\(f_n \to f\)依测度收敛
证明：对于几乎处处收敛，即\(\mu(\{f_n(x) \not \to f(x)\}) = 0\)，从而\(\mu(\bigcup_{m} \{\lim \sup_n |f_n-f| > \frac{1}{m}\})=0\)
进而\(\mu(\{\lim \sup_n |f_n-f| > \frac{1}{m}\}) = 0\)，对任意\(m\)，记\(E_n =\{|f_n - f| > \frac{1}{m}\}, F_k = \bigcup_{n \geq k} E_n\)
由于\(\mu(X)<+\infty\)且\(X \supset F_1 \supset F_2 \supset ...\)，因此\(\lim \mu(F_n) = \mu(\lim F_n) =0\)
此时\(\lim \sup \mu(E_n) \leq \lim \sup \mu(F_n) = 0\)，因此\(\lim \mu(E_n) = 0\)，这实际上就是\(f_n\to f\)依测度收敛，\(\square\)
设\(g_n = \sup_{k \geq n} |f_k-f|\)，那么\(\lim g_n = \lim |f_n-f| = 0\)几乎处处成立，由此，我们知道\(g_n \to 0\)依测度收敛
- Lemma 2：设\(\{\epsilon_n\}\)单调递减收敛至\(0\)，\(\{g_n\}\)可测，令\(E_n = \{|g_n(x)|>\epsilon_n\}\)，如果\(\sum \mu(E_n) < \infty\)，那么\(g_n\)几乎处处收敛到\(0\)，同时，\(g_n\)近一致收敛到\(0\)
- Lemma 3：如果\(\{f_n\}\)依测度收敛到\(f\)，那么存在子列\(\{f_{n_k}\}\)，使得\(\{f_{n_{k}}\}\)几乎处处收敛并且近一致收敛到\(f\)
注意引理3并不要求\(\mu(X)<\infty\)
引理2的证明：由于\(\sum \mu(E_n) < \infty\)，因此对\(N\)足够大，\(\sum_{n=N} \mu(E_n) < \epsilon\)，取\(E_{\epsilon} = \bigcup E_n\)，在\(X \setminus E\)上，\(|g_n(x)| \leq \epsilon_n\)，从而\(g_n(x) \to 0\)，\(N\)的选取对\(X \setminus E\)上的元素是一致的，这说明了\(f\)近一致收敛
而要说明几乎处处收敛，我们只需要证明\(\mu(\{\lim \sup_n |g_n| > \epsilon_m\}) = 0\)，注意到\(\{\lim \sup_n |g_n| > \epsilon_m\} = \bigcap_k\bigcup_{n \geq k} \{|g_n| > \epsilon_m\} \subset \bigcap_k\bigcup_n \{|g_n| > \epsilon_n\} = \lim \sup E_n\)
而\(\mu(\lim \sup E_n) = 0\)，因此\(f\)几乎处处收敛，\(\square\)
引理3的证明：取\(\epsilon_m = \frac{1}{m}, E_m = \{|f_{n_m} - f| > \epsilon_m\}\)，其中\(n_m\)根据\(f_n\)依测度收敛的性质选取，使得\(\mu(E_m) < 2^{-m}\)，如此选取的子列满足引理2的要求，\(\square\)
根据引理，存在子列\(\{g_{n_k}\}\)近一致收敛，注意到\(|f_n-f| \leq g_{n_k}, \forall n \geq n_k\)，因此\(\{g_{n_k}\}\)收敛时，\(\{f_n\}\)也收敛到\(f\)，\(\square\)
Lebesgue测度
外测度
(Definition)：
- 我们称\(I=\{x:a_i<x_i<b_i\}\)为一个开矩体，记其体积为\(|I| = \prod(b_i - a_i)\)
- 如果\(E \subset \bigcup I_k\)（可数个），其中\(I_k\)为开矩体，那么称\(\{I_k\}\)为\(E\)的一个\(L-\)覆盖，称\(m^*(E) := \inf \{ \sum_{k=1}^{\infty} |I_k| : E \subset \bigcup I_k\}\)为\(E\)的外测度
外测度具有一些类似于测度的性质
\(m^*(E) \geq 0\)
如果\(E_1 \subset E_2\)，那么\(m^*(E_1) \leq m^*(E_2)\)
\(m^*(\bigcup E_k) \leq \sum m^*(E_k)\)（可列次可加性）
性质(1)，(2)显然，考虑性质(3)，我们对于\(E_n\)，寻找一个\(L-\)覆盖\(\{I_{n,k}\}\)，使得\(m^*(E_n) \leq \sum |I_{n,k}| \leq m^*(E_n) + \epsilon/2^n\)，如此\(\bigcup_n \{I_{n,k}\}\)构成一个\(\bigcup E_n\)的\(L-\)覆盖，得到\(m^*(\bigcup E_k) \leq \sum m^*(E_k) + \epsilon\)，再令\(\epsilon \to 0\)即可
既然我们的外测度基于开矩体定义，那么至少在开矩体上，它应该是一个良定义的，也即
对于可数点集\(A\)，\(m^*(A) = 0\)
对于开矩体\(I\)，\(m^*(\bar{I}) =|I|\)，其中\(\bar{I}\)为\(I\)的闭包
对于超平面\(H\)，\(m^*(H) = 0\)
对于开矩体\(I\)，\(m^*(I)=|I|\)
单点的外测度为0，根据次可加性，(1)成立
对于(2)，将开矩体每一维稍微放大，来得到稍大的\(\bar{I}\)的\(L-\)覆盖，因此\(m^*(\bar{I}) \leq |I|\)，而\(m^*(\bar{I})\geq |I|\)是显然的
证明(3)时，一个技巧是将给所有的维数一个界\((-n,n)\)，之后对所有\(n\)取并，(4)根据(2),(3)可以很快得出
外测度虽然没有可列可加性，但是有重要的分离可加性
如果\(d(E_1,E_2) > 0\)，那么\(m^*(E_1\cup E_2) = m^*(E_1) + m^*(E_2)\)
证明：只需证\(m^*(E_1 \cup E_2) \geq m^*(E_1) + m^*(E_2)\)，任取\(E_1 \cup E_2\)的一个\(L-\)覆盖\(\{I_{n}\}\)，我们可以将\(I_n\)的每一维划分为\(<\delta\)的若干部分来得到一个更精细的\(L-\)覆盖，在这里，我们选取\(\delta = d(E_1,E_2) / \dim\)，如此这个覆盖中的每个开矩体只与\(E_1,E_2\)中的一个相交，那么\(\sum |I_n| \geq m^*(E_1) + m^*(E_2)\)，\(\square\)
Cantor集
(Definition)：定义\(I_0 = [0,1]\)，之后每一步将每个区间的中间三分之一的开区间删除，得到\(I_{n+1}\)，令\(C:= \bigcap_{n=1}^{\infty} I_n\)为Cantor集
Cantor集是一个神奇的集合
\(C\)是非空有界闭集
如果\([a_n,b_n]\)是\(I_n\)中的端点，那么\(a_n,b_n \in C\)
\(C\)是完全集，这等价于\(C=C'\)，也等价于\(C\)没有孤立点
\(C\)没有内点，即\(C\)的内部为空集
\(C\)是不可数集
\(m^*(C)=0\)
(1)根据闭区间套定理知\(C\)为非空闭集，(2)根据构造过程可知
在构造的第\(n\)步中，恰有\(2^{n}\)个闭区间，每个区间之间距离至少为\(3^{-n}\)，每个区间的长度为\(3^{-n}\)
因此对于任何\(C\)中的点\(x\)，\(B(x, \delta) \not \subset C\)，且总存在\(\{x_n\}\)逼近\(x\)，这证明了(3), (4)
而\(m^*(I_n) = (2/3)^n \to 0\)，这证明了(6)，对于(5)，可以证明\(C\)中点和\(\{\sum_{i=1}^{\infty} \frac{a_i}{3^i}, a_i \in \{0,2\}\}\)一一对应
(Definition)：定义\(C \to [0,1]\)的函数\(f\)：\(f(\sum_{i=1}^{\infty} \frac{a_i}{3^i}) = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{a_i / 2}{2^i}\)
将其扩展到\([0,1]\)上，定义\(g(x) = \sup \{f(y):y \in C, y \leq x\}\)，称\(g\)为Cantor函数
Cantor函数也非常神奇
\(f\)是满射，但不是单射，并且\(f\)单调递增
\(g|_C = f\)，\(g\)单调递增
\(g\)在\([0,1]\)上连续，进一步，\(|g(x)-g(y)|\leq 2|x-y|^{\alpha}\)，其中\(\alpha = \log 2 / \log 3\)
\(g\)在Cantor集以外的每个区间上取值为常数，这也说明\(g\)的导数几乎处处为\(0\)
其中(3)不好证明
如果每次不是去掉中间的\(1/3\)，而是去掉中间的\(\delta, \delta \in (0,1/3)\)，那么我们就得到了类Cantor集，这个集合是有界闭集，有测度但是没有内点
Lebesgue可测集
(Definition)：设\(E \subset \mathbb{R}^d\)，如果对任意\(A \subset \mathbb{R}^d\)有\(m^*(A) = m^*(A \cap E) + m^*(A \cap E^c)\)，则称\(E\)为Lebesgue可测集，记\(M\)为Lebesgue可测集的全体
这个定义由Caratheodory提出，其和Lebesgue提出的定义是等价的，换而言之
对任意\(A \subset \mathbb{R}^d\)有\(m^*(A) = m^*(A \cap E) + m^*(A \cap E^c)\)当且仅当对任意开矩体\(I\)有\(m^*(I) = m^*(I \cap E) + m^*(I \cap E^c)\)
证明：\(\Rightarrow\)显然，我们考虑\(\Leftarrow\)，取\(A\)的一个开矩体覆盖\(\{I_k\}\)使得\(m^*(A) \leq \sum |I_k| \leq m^*(A) + \epsilon\)
那么\(m^*(A \cap E) \leq m^*(\bigcup (I_k \cap E)) \leq \sum m^*(I_k \cap E)\)
因此，\(m^*(A \cap E) + m^*(A \cap E^c) \leq \sum (m^*(I_k \cap E)+m^*(I_k \cap E^c))=\sum |I_k| \leq m^*(A)+\epsilon\)
取\(\epsilon\to 0\)结合外测度的可列次可加性，\(\square\)
下面将我们之前的讨论联系起来
\(M\)是一个\(\sigma-\)代数
对两两不交的集合列\(\{E_n\} \in M\)，有\(m^*(\bigcup E_n) = \sum m^*(E_n)\)
也就是说，外测度定义在\(M\)上时，它就是真正的测度
证明：(1) 不难知道，\(\emptyset \in M\)，又可测集的定义对补集而言是对称的，因此对补集封闭
对\(E_1,E_2 \in M\)，$m^(A (E_1 E_2)) + m^(A (E_1 E_2)^c) $
\(\leq [m^*(A \cap E_1 \cap E_2) + m^*(A\cap E_1 \cap E_2^c) ]+ [m^*(A \cap E_1^c \cap E_2) + m^*(A \cap E_1^c \cap E_2^c)]=m^*(A)\)
因此，\(E_1 \cup E_2\in M\)
接下来考虑\(\{E_n\} \in M\)两两不交，取\(S_n=\bigcup^n E_i\)，对任意\(A\)，证明在有限情况下\(m^*(A)=\sum^n m^*(A \cap E_i)+m^*(A \cap S_n^c)\)，之后令\(n \to \infty\)得到\(m^*(A) \geq \sum^{\infty} m^*(A \cap E_i) + m^*(A \cap S^c) \geq m^*(A \cap S)+m^*(A \cap S^c)\)，故\(S \in M\)
- 上面的式子的不等号实际上都是等号，令\(A=S\)，就可以得到\(m^*(S)=\sum^{\infty} m^*(E_i)+m^*(\emptyset)=\sum^{\infty} m^*(E_i)\)，\(\square\)
经常用到的结论：如果对可测集\(S\)，集合\(E_1 \subset S,E_2 \subset S^c\)，那么\(m^*(E_1 \cup E_2) = m^*(E_1) + m^*(E_2)\)
既然我们知道了可测集的判定方法，我们就可以尝试什么样的集合在可测集中
\(\mathbb{R}^d\)中开集为Lebesgue可测集
证明：任取\(A \subset \mathbb{R}^d\)，对开集\(E\)，证明\(m^*(A) \geq m^*(A \cap E)+m^*(A \cap E^c)\)
- (Carathedory)：设\(F\)为开集，\(E \subset F\)，令\(E_k = \{x\in E:d(x, F^c) \geq 1/k\}\)，那么\(\lim m^*(E_k)=m^*(E)\)
证明：对\(x \in E \subset F, x \notin F^c\)，因此\(d(x, F^c) > 0\)，故\(\bigcup E_k = E\)，从而\(m^*(E_i) \leq m^*(E)\)，\(\lim m^*(E_k) \leq m^*(E)\)
下面证明\(\lim m^*(E_k) \geq m^*(E)\)，不妨设\(\lim m^*(E_k) < \infty\)
令\(A_k = E_{k+1} \setminus E_k\)，不难知道\(d(A_k,A_{k+2})>0\)，于是\(m^*(E_{2k})\geq m^*(\bigcup A_{2j})=\sum m^*(A_{2j})\)
令\(k \to \infty\)，我们得到\(\sum m^*(A_{2j}) < \lim m^*(E_{2k})<\infty\)，对奇数和同理，因此其后缀和趋于\(0\)
最后，注意到\(m^*(E) \leq m^*(E_{2k})+\sum m^*(A_{2j})+\sum m^*(A_{2j+1})\)，令\(k\to \infty\)得到我们想要的，\(\square\)
我们对\(A \cap E\)和开集\(E\)带入引理，得到\(\lim m^*((A \cap E)_k) = m^*(A \cap E)\)
那么，\(m^*(A)\geq m^*((A \cap E^c) \cup (A \cap E)_k) = m^*(A \cap E^c) + m^*((A \cap E)_k)\)，对\(k\)取极限即可，其中需要注意到\(F_k \subset A, d(E^c, F_k)>0\)，\(\square\)
(Corollary)：\(\mathbb{R}^d\)中的Borel集是Lebesgue可测集
Borel集与Lebesgue可测集
下面是记录周民强《实变函数论》的一些比较凌乱的讨论.
设\(E \in M\)，任给\(\epsilon > 0\)，有
- 存在开集\(F \subset E\)，使得\(m(F\setminus E) < \epsilon\)
- 存在闭集\(G \supset E\)，使得\(m(E \setminus G)<\epsilon\)
- 如果\(m(E)<\infty\)，那么存在紧集\(K \subset E\)，使得\(m(E \setminus K) < \epsilon\)
对1，当\(m(E)<\infty\)时，\(E\)的一个\(L-\)覆盖的并就是开集，而\(m(E)=\infty\)时，我们对\(m(E \cap B(0, k))\)取一个\(\epsilon/2^k\)的近似即可
2可以由1得到，对3，设\(E_k=E\cap B(0, k)\)，由\(m(E)<\infty\)，我们可以取到\(m(E\setminus E_k)<\epsilon\)，对\(E_k\)用2的结论，取到\(\epsilon\)近似的\(K\)，此时\(m(E \setminus K) < 2\epsilon\)并且\(K\)是有界闭集
(Corollary)：设\(E \in M\)，则，存在\(G_{\delta}\)集\(G \supset E\)，使得\(m(G \setminus E) = 0\)且存在\(F_{\sigma}\)集\(F \subset E\)，使得\(m(E \setminus F)=0\)
这个定理也可以表述为任何一个可测集\(E\)可以表为\(G\setminus Z\)的形式，其中\(G \supset E\)为\(G_{\delta}\)集，\(Z\)为零测集
(Corollary of Corollary)：Lebesgue测度空间是Borel测度空间的完备化
对一般的集合\(E\)以及外测度，上述定理中关于开集的结论仍然成立（以\(m(F)-m(E)<\epsilon\)的形式），而可测集上的外测度实际上就是测度，因此我们有
(Corollary，外测度的正则性)：任取\(E \subset \mathbb{R}^d\)，那么存在\(G_{\delta}\)集\(H \supset E\)，使得\(m^*(E)=m(H)\)
(Corollary)：\(m^*(\liminf E_k) \leq \liminf m^*(E_k)\)
我们取\(H_k \subset E_k\)使得\(m^*(E_k)=m(H_k)\)，用\(H_k\)改写不等式后，测度实际上就是\(1_{H_k}\)的积分，用Fatou's Lemma即可
上述定理的一个作用在于，如果我们尝试证明一个集合是可测集，可以尝试将其写为可测集和若干零测集的并
(Steinhaus)：设\(E \in M\)且\(m(E)>0\)，那么\(\{x-y:x,y \in E\} \supset B(0,\delta)\)，对于某个\(\delta\)
证明：我们需要一个引理
- 设\(E \in M\)且\(m(E)>0\)，那么对任意\(0<\lambda < 1\)，存在开矩体\(I\)，使得\(\lambda|I|<m(I \cap E)\)
不妨设\(m(E)<\infty\)，反证\(\lambda |I| \geq m(I\cap E)\)
对任意\(L-\)覆盖\(\{I_k\}\)，注意到\(m(E) \leq \sum m(I_k \cap E) \leq \lambda \sum|I_k|\)，通过选取\(L-\)覆盖就能导出矛盾
固定\(\lambda>1-2^{-(n+1)}\)，取开矩体\(I\)满足引理，作开矩体\(J\)为\((-\delta/2, \delta/2)^n\)，其中\(\delta\)为\(I\)的最长边长
对\(x \in J\)，有\(m(I \cap (I+x))>2^{-n}|I|\)，因此\(m(I \cup (I+x))<2|I|-2^{-n}|I|<2\lambda |I|\)
这说明\((E \cap I) \cap ((E \cap I)+x) \neq 0\)，即\(J \subset \{x-y:x,y \in E\}\)，\(\square\)
（不可测集的存在性）：在\(\mathbb{R}^d\)上定义等价关系：\(x \sim y\)当且仅当\(x-y \in \mathbb{Q}^d\)
我们从每个等价类中任取一点构成集合\(W\)，那么\(W\)为不可测集（Vitali set）
假设其为可测集，显然\(m(W)>0\)，根据Steinhaus's TH，存在\(r \in \mathbb{Q}^d \cap B(0,\delta)\)，使得\(r=x-y\)，其中\(x,y \in W\)，矛盾
(Corollary)：设\(m^*(E)>0\)，那么存在不可测集\(W_E\)使得\(W_E \subset E\)
更具体的，我们取的不可测集为\((W+\{r\}) \cap E\)，其中\(r\)是一个被选取使得\(m^*((W+\{r\})\cap E)>0\)的有理数
(Corollary)：\(\mathbb{R}\)中可测集，不可测集的全体的势为\(\aleph_2\)
Cantor集的子集都是零测集，而且Cantor集势为\(\aleph_1\)；不可测集则可以考虑\(W\)的选取中，每一个等价类的有理数选取是任意的
存在集合\(E \in \mathbb{R}^d\)，\(E\)是可测集但不是Borel集
用到Borel集的势为\(\aleph_1\)的结论可以轻松地证明这个定理，等笔者学了这个结论之后再来整理这一条...
Borel测度
设\((\mathbb{R}^d, \mathscr{B, \mu)}\)是Borel测度空间，\(\mu \not \equiv 0\)，并且 \(\mu(K) < \infty\)，对任意紧集\(K\)，那么 (1) \(\forall E \in \mathscr{B}\)，\(\mu(E) = \inf \{\mu(G): E \subset G\;open\}\) (2) \(\forall E \in \mathscr{B}\)，\(\mu(E) = \sup \{\mu(F): F\;closed \subset E\}\)
最后两个定理等到他们被用到的时候再来记录证明，感觉用处很局限
设\((\mathbb{R}^d, \mathscr{B, \mu)}\)是Borel测度空间，\(\mu \not \equiv 0\)，并且 (1) \(\mu(K) < \infty\)，对任意紧集\(K\) (2) \(\mu(A + \{x_0\}) = \mu(A)\)，对任意\(A \in \mathscr{B}, x_0 \in \mathbb{R}^d\) 那么，存在\(\alpha>0\)，使得对任意集合\(E \in \mathscr{B}\)，\(\mu(E) = \alpha m(E)\)
设\(T:\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d\)是一个线性变换，那么任意可测集\(E\)，\(m(T(E)) = |\det T|\cdot m(E)\)
杂乱的讨论
周民强的《实变函数论》写的比较随意，零散的结论比较多，我们在这里进行罗列
Lusin Theorem
(Lusin Theorem)：设\(E\subset \mathbb{R}^d\)可测，\(f: E \to [-\infty, +\infty]\)为几乎处处有限的可测函数，那么\(\forall \epsilon > 0\)，存在闭集\(F \subset E\)，使得\(m(E \setminus F) < \epsilon\)并且\(f\)在\(F\)连续
证明：对简单函数\(S = \sum_{i=1}^n \alpha_i 1_{E_i}\)，对每一\(E_i\)取闭集\(F_i \subset E_i\)使得\(m(E_i \setminus F_i) < \epsilon / n\)；之后，考虑\(F = \bigcup_{i=1}^n F_i\)，那么\(m(E \setminus F) < \epsilon\)，并且由于\(\{F_i\}\)两两不交且\(S\)在\(F_i\)上连续，有\(S\)在\(F\)上连续
不妨设\(f\)取值都是有限的，构造\(g = \frac{f}{1+|f|}\)，\(g,f\)有一样的连续性，但是\(g \in [-1,1]\)，我们可以取简单函数\(S_n\)逼近\(g\)，使得\(|S_n - g| \leq \frac{1}{2^n}\)；对于每个简单函数\(S_n\)，取闭集\(F_n\)，使\(m(E \setminus F_n) < \epsilon/2^n\)且\(S_n\)在\(F_n\)上连续
取\(F = \bigcap_{i=1}^n F_i\)，那么\(m(E \setminus F) < \epsilon\)，并且\(S_n\)在\(F\)上连续并且一致收敛到\(g\)，最终有\(g\)在\(F\)上连续，\(\square\)
(Corollary)：如果\(f: E \to [-\infty, +\infty]\)可测且几乎处处有限，
那么对任意\(\epsilon > 0\)，存在连续函数\(g \in C(\mathbb{R}^d)\)，使得\(m(E \cap \{f(x) \neq g(x)\}) < \epsilon\)且\(\sup |g| \leq \sup |f|\)
进一步，如果\(m(E)<\infty\)，那么\(g\)可以取\(C_c(\mathbb{R}^d)\)中的函数。 更具体地，在\(m(E) < \infty\)时，我们可以选取一个有界的开集\(G \supset E\)，满足\(g \in C_c(G)\)
证明：根据Lusin TH，存在闭集\(F \subset E\)，使得\(m(E \setminus F) < \epsilon\)并且\(f|_F\)连续；根据连续函数的延拓定理（一个神奇的构造），存在\(g : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}\)连续且使得\(g|_F = f|_F\)且\(\sup|g| \leq \sup |g|_F|\)，取\(g\)即可。
而当\(m(E)<\infty\)时，我们可以选取紧集\(K \subset E\)，使得\(m(E \setminus K) < \epsilon / 2\)，再根据Lusin TH，存在紧集\(F \subset K\)，使得\(m(K \setminus F) < \epsilon/2\)且\(f|_F\)连续，考虑将\(f|_F\)进行延拓得到\(g\)
任取有界开集\(G \supset F\)，根据Urysohn定理（证明中的一个推论），存在\(\varphi \in C_c(\mathbb{R}^d)\)，使得\(1_F \leq \varphi \leq 1_G\)，取\(g' = g \cdot \varphi\)。由于\(\varphi|_F = 1, g|_F=f|_F\)且\(\varphi \in C_c(\mathbb{R}^d)\)，因此\(m(\{f \neq g'\}\cap E) \leq m(E \setminus K) + m(K \setminus F) < \epsilon\)且\(g' \in C_c(\mathbb{R}^d)\)，\(\square\)
(Corollary)：设\(E \subset \mathbb{R}^d\)可测，\(f\)为\(E\)上的几乎处处有限的可测函数，那么，存在\(\{f_n\} \subset C(\mathbb{R}^d)\)使得\(f_n \to f\)在\(E\)中几乎处处成立
对\(m(E) < \infty\)时，我们可以取\(C_c(\mathbb{R}^d)\)来进行逼近
可积函数与连续函数
如果\(f \in L^1(\mathbb{R}^d)\)，那么\(\forall \epsilon > 0\)，存在\(g \in C_c(\mathbb{R}^d)\)，使得\(\int |f-g| dm < \epsilon\)
证明：我们可以选择适合的\(M\)，记\(E = (\{f(x) \geq M\} \cup \{|x| \geq M\})^c\)，那么\(E\)需要满足\(\int_{E^c} |f| dm \leq \epsilon/4\)
根据Lusin TH的推论，存在\(g \in C_c(B(0,M))\)使得\(m\{E\cap(f \neq g)\} < \epsilon/4M\)，并且\(\sup |g| \leq \sup |f|\)，特别的，在\(E\)上\(\sup |g| \leq M\) \[ \begin{aligned} \int|f-g| dm &= \int_{E}|f-g| dm + \int_{E^c} |f-g| dm \\ &\leq \int_{E \cap \{f \neq g\}} |f-g| dm + \int_{E^c} |f| dm + \int_{E^c} |g| dm \\ & \leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{aligned} \] 由上，\(\square\)
(Corollay)：设\(f \in L^1\)，那么存在\(\exists \{f_n\}_{n=1}^{\infty} \in C_c(\mathbb{R}^d)\)，使得\(f_n \to f\)以\(L^1\)收敛并且几乎处处收敛，而且有\(\sup |f_n| \leq \sup |f|\)
这个推论可以认为是Lusin定理推论的一个扩展
既然可积函数几乎就是一个连续函数，那么我们定义一个平均的连续指标，可积函数在这个指标上应当是和连续函数一样的
(平均连续性)：设\(f\in L^1(\mathbb{R}^d)\)，那么\(\lim_{h \to 0} \int_{\mathbb{R}^d} |f(x+h)-f(x)| dm = 0\)
用连续函数逼近去证明即可
Lebesgue积分和Rieman积分
回顾数学分析，我们使用了达布上和和达布下和以及划分的加细来得到Rieman积分的定义，更具体的，我们需要以下结论
达布上和的极限为达布上积分：\(\overline{\int_a^b} f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{k_n} M_i^{n} (x_i^n - x_{i-1}^n)\)
达布下和的极限为达布下积分：\(\underline{\int_a^b} f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{k_n} m_i^{n} (x_i^n - x_{i-1}^n)\)
接下来开始逐步引入Lebesgue积分：
设\(f\)有界，那么\(\overline{\int_a^b} f(x) dx - \underline{\int_a^b} f(x) dx = \int_{[a,b]} W_f dm\)
其中\(W_f(x) = \limsup f(x) - \liminf f(x)\)
可以给每个大小为\(n\)的划分赋予一个分段振幅函数，这个函数将收敛至振幅函数\(W_f\)，由于\(f\)有界，我们可以用控制收敛定理来得到上述条件
下面这个定理直白地指出，一般情况下Rieman积分就是Lebesgue积分，因此在后文中，我们将使用\(\text{d}x\)而不是\(\text{d}m\)来指代Lebesgue积分
如果\(f\)在\([a,b]\)上Rieman可积，那么其在\([a,b]\)上Lebesgue可积，并且两个积分相等
证明：因\(f\)在\([a,b]\)上Rieman可积，\(f\)有界
- (Lebesgue判别准则)：设\(f\)在\([a,b]\)上有界，那么\(f\)在\([a,b]\)上Rieman可积当且仅当\(f\)的不连续点集为零测集
联想振幅函数，达布上下积分，连续之间的关系不难证明
\(f\)不仅有界，还几乎处处连续，这就告诉我们\(f\)可测，结合\(f\)有界，我们得到\(f\)在\([a,b]\)上Lebesgue可积
证明两个积分相等，可以用达布上下和去夹逼Lebesgue积分，取极限来得到结论，\(\square\)
对于广义积分，一般Rieman积分和Lebesgue积分并不一样，主要的原因在于Rieman积分中的瑕积分相当于正负进行求和再取极限，而Lebesgue积分是先取极限再正负部求和，限定只有正部的情况下，有如下结论：
如果\(f\)是\([a,b]\)上的非负函数，如果对\(\forall \epsilon>0\)，\(f\)在\([a+\epsilon,b]\)上Rieman可积，极限\(\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{a+\epsilon}^b f(x)dx\)(瑕积分)存在且有限
那么\(f \in L^1([a,b])\)并且\(\int_a^b f(x) dm = \lim_{\epsilon\to 0^+} \int_{a+\epsilon}^b f(x) dx\)
如果\(f\)是\([a,\infty)\)上的非负函数，如果对\(\forall b>a\)，\(f\)在\([a,b]\)上Rieman可积，极限\(\lim_{b \to \infty} \int_{a}^b f(x)dx\)(无穷积分)存在且有限
那么\(f \in L^1([a,\infty))\)并且\(\int_a^{\infty} f(x) dm = \lim_{b\to \infty} \int_{a}^b f(x) dx\)
证明的思路是对\(f 1_{[a+1/n, b]}\)和\(f1_{[a,n]}\)使用Lebesgue单调收敛定理