泛函分析（上）

感觉跟着一个错误的老师上了该课，这门课主要的难点还是在数学分析和高等代数，自己具有的特色技巧到没啥...

这是一门比较基础的课程，在其上可以衍生出许多分支，很多事情在该课程观点下看不透彻

此处罗列定理和各种繁杂的定义，以便查阅

基础知识

度量空间

基础中的基础

• 度量空间：非空集合\(X\)以及\(X \times X \to \mathbb{R}\)的映射满足正定性、对称性、三角不等式的\(d\)构成的\((X, d)\)

​ 在度量空间中，可以定义收敛，称\(x_n \to x\)如果\(d(x_n,x) \to 0\)

• 开集：\(A\)中所有点皆为内点，也即\(\forall x, \exists r, B(x, r) \subseteq A\)

• 连续映射：下述定义等价

  \((1)\)：开集的原像为开集

  \((2)\)：对每一点用\(\epsilon-\delta\)语言进行论述

可分性、完备性

• 稠密：如果\(A \subseteq \bar{B}\)，称\(A\)在\(B\)中稠密，等价定义为\(B(b, \epsilon) \cap A \neq \emptyset\)。

• 疏朗：对度量空间\(X\)，若\(A\)在\(X\)的任何开集中不稠密，称\(A\)在\(X\)中疏朗

  上述定义等价于\(\bar{A}\)无内点

• 可分：存在可数稠密集

• 完备：Cauchy列皆有极限

完备空间中有闭集交定理

完备的闭子集为完备子集，闭集的完备子集为闭子集

• 第一纲集：可表为可数个疏朗集

  第二纲集：不是第一纲集

（Baire纲性定理）：完备度量空间是第二纲集

​ 常用的是推论形式：\(X = \bigcup \overline{A_N}\)，说明存在\(\overline{A_N}\)有内点

​ 下面则是比较微妙的定理

任何度量空间\((X,d)\)皆有完备化\((\tilde{X}, \tilde{d})\)，此时\(X\)是\(\tilde{X}\)的稠密子集

满足上述条件的完备化空间在等距同构意义下唯一

紧性

​ 这里是符号的重灾区，基本上没有统一的符号，笔者尤为痛苦，笔者学习的课程老师使用了两本教材，此处符号直接混用，无法区分

• 相对紧，准紧：任何数列有收敛子列，但极限不一定在集合中

  自列紧，列紧（有时列紧也指上面的定义，注意区分）：任何数列有收敛子列，极限在集合中

• 紧：有限覆盖定理成立

• 完全有界：\(\forall \epsilon>0\)，有有限大小的\(\epsilon-\)网

（Hausdorff）：度量空间中，相对紧可推出完全有界

在完备度量空间中，相对紧和完全有界等价

利用Lebesgue Number Theorem，我们有

度量空间中，列紧和紧等价

线性空间

基础中的基础

• 在无限维线性空间中，对集合\(X\)：

  称其线性无关，如果\(X\)的任意有限子集线性无关

  \(X\)中有限个元素的线性组合构成的集合称为\(X\)的生成子集

• 极大线性无关集合称为基，这等价于线性无关以及生成整个空间

​ 基一定存在，且不同基之间等势，基的大小称为维数。并且可将子空间的基扩为整个空间的基

商空间

• 商空间：对子空间\(W\)，可定义商空间\(E/W\)

  商投射：投射\(\pi : E \to E/W\)，其为线性满射且\(\ker \pi = W\)

（同态基本定理）：对线性映射\(f:E \to F\)，

如果\(W \subseteq \ker f\)，其诱导同态\(\tilde{f}: E/W \to F\)，且\(f=\pi \tilde{f}\)

作为特例，其诱导同构\(\tilde{f}:E/\ker f \to \text{im} f\)

• 在线性空间中，即使是无限维，补空间一定存在

对偶空间

​ 记\(E'\)为\(E\)上线性泛函的全体，称为代数对偶空间

​ 和有限维空间一样，在一组基上定义函数的值可唯一确定出线性函数，且该函数一定存在。考虑一组基\(\{e_i\}\)，设\(\{e^i\} \subseteq E'\)满足\(e^i(e_i) = \delta_{ij}\)，则\(\{e^i\}\)线性无关。仅在\(\{e_i\}\)有限大小时，\(\{e^i\}\)构成一组基，称为对偶基。对偶基可表明\(\dim E' \geq \dim E\)，仅在有限维取等。

​ 可定义映射\(x \to x^{**}: E \to E''\)，满足\(\langle x^{**}, f\rangle = \langle x, f\rangle\)。那么\(**\)映射是线性映射，且是单射。仅在有限维时，\(**\)映射为满射，此时\(**\)映射构成\(E \to E''\)的同构映射，称为\(E\)自反。注意：自反必须要求\(**\)映射为同构，不可为他者同构映射。

​ \(E\)自反当且仅当\(E'\)自反。

伴随映射

​ 对线性映射\(T:E \to F\)，定义\(T^* : F' \to E'\)：\(y \to y \circ T\)，称为\(T\)的伴随映射。更常用的为其等价形式：\(\langle Tx,y\rangle = \langle x, T^*y\rangle, \forall x \in E, y \in F'\)。伴随映射是线性映射，且\((ST)^*=T^*S^*\)。

​ 对子空间\(W\)，定义\(W^{\perp} = \{y\in E' : y|_W = 0\}\)，称为上垂空间。

​ 对\(E'\)的子空间\(W'\)，定义\((W')_{\perp} = \{x \in E:(x^{**})|_{W'}=0\}\)，称为下垂空间。

​ 接下来将是下一节的前瞻：

（线性函数延拓定理）：\(W\)为\(E\)的子空间，那么\(f \in W'\)可延拓为\(\tilde{f} \in E'\)

​ 利用该定理，我们得到

\(\iota : W \to E\)为含入，则\(\iota^* : E' / W^{\perp} \to W'\)为同构。

\(\pi : E \to E/W\)为投射，则\(\pi^*:(E/W)' \to W^{\perp}\)为同构。

​ 在线性空间下进行上述讨论不是本课之重点，然下面的定理足以有趣，故还是保留了此节

设\(f_1,...,f_n \in E'\)，那么\(f\)是\(\{f_i\}\)的线性组合当且仅当\(\ker f \supseteq \bigcap_{i=1}^n \ker f_i\)

推论为：\(\exists a \neq 0, f = ag\)当且仅当\(\ker f = \ker g\)

赋范空间

定义

• 赋范空间：线性空间\(X\)以及\(X \to \mathbb{R}\)的映射满足正定性、齐次性、三角不等式的\(||\cdot||\)构成的\((X, ||\cdot||)\)

​ 赋范空间中，极限与数乘和加法操作可交换。赋范空间的子空间可继承原空间范数成为赋范子空间。

• Banach空间：完备赋范空间

​ 接下来是赋范空间中研究偏容易的一个本质结论：

对赋范空间\(E,F\)，线性\(T:E \to F\)连续当且仅当\(T\)是Lipschitz连续

​ 线性连续和线性有界等价，\(T\)线性连续时，可定义\(||T|| = \sup_{||x|| \leq 1} ||Tx||\)。

​ 对线性连续算子\(T\)，\(\ker T\)是一个闭空间。

• 线性有界映射空间：对赋范空间，记\(L(E,F)\)为所有线性有界映射构成的全体

  对偶空间：特别的，\(F\)为数域\(\mathbb{F}\)时，简写为\(E^*\)，此空间称为\(E\)的对偶空间

​ 我们之前定义了\(T\)之范数，事实上，\(L(E,F)\)构成赋范线性空间。并且当\(F\)完备时，\(L(E,F)\)也完备。因而\(E^*\)完备。

​ 根据Cauchy不等式，\(f(x) = x^{**}(f) \leq ||f||\cdot ||x||\)，因而\(||x^{**}|| \leq ||x||\)，这说明线性空间中定义的\(**\)映射满足\(x^{**} \in E^{**}\)。

• 自反：\(**\)映射为同构映射时，称\(E\)自反

​ 对度量空间有完备化，对赋范空间同理

任何赋范空间\((X,||\cdot||)\)皆有完备化\((\tilde{X}, \tilde{||\cdot||})\)，且在同构的意义下唯一

• 同构：\(T:E\to F\)为线性双射，且\(T,T^{-1}\)皆连续时，称\(E\)与\(F\)间有同构映射

  等距同构：额外加上\(T\)保距之条件

有限维赋范空间

有限维范数等价定理

• 等价：在赋范空间\(E\)中，称范数\(||\cdot||_1\)和范数\(||\cdot||_2\)等价当且仅当存在常数\(C_1, C_2 > 0\)，使得\(C_1||\cdot||_1 \leq ||\cdot||_2 \leq C_2 ||\cdot||_1\)

（有限维范数等价性定理）：设\(E\)为有限维空间，那么\(E\)上所有的范数都等价

​ 所有的空间都与\((\mathbb{F}^n, ||\cdot||_2)\)同构，因而有有限维赋范空间皆完备可分，有限维子空间皆为闭集

Riesz引理

​ 下面介绍非常重要的Riesz引理，其常常用于刻画无限维空间

（Riesz引理）：设\(W\)是\(E\)的真闭子空间，那么\(\forall \epsilon > 0, \exists x \in E\)，使得\(||x||=1\)且\(d(x, W) > 1-\epsilon\)

​ 利用Riesz引理，我们可以得到

赋范空间\(E\)中有界集皆为准紧集（相对紧集）当且仅当\(E\)有限维

​ 一个较为有用的推论：\(E\)有相对紧开集当且仅当\(E\)有限维

有限维下的线性映射

设\(E, F\)为赋范空间，若\(T : E \to F\)为线性映射且\(E\)有限维，那么\(T\)连续

​ 下面都差不多是没啥用的废话

​ （1）设\(E,F\)为有限维赋范空间，\(T\)为线性双射，那么\(T\)为同构

​ （2）设\(E,F\)为有限维赋范空间，两者同构当且仅当两者维数相同

​ （3）有限维赋范空间\(E\)必然自反

​ （4）设\(E,F\)为赋范空间，\(F\)有限维，\(T:E \to F\)为线性映射，那么\(T\)连续当且仅当\(\ker T\)闭

Hahn-Banach定理

​ 所谓泛函分析的王冠定理，自然归于Hahn-Banach定理所有

（泛函延拓定理）：设\(E\)是\(\mathbb{R}-\)线性空间，\(q\)是\(E\)上的次线性泛函，设\(W\)是\(E\)的子空间，\(f\)是满足\(f \leq q\)的\(W\)上的线性泛函，那么存在\(f\)的线性延拓\(\tilde{f}\)，使得\(\tilde{f} \leq q\)

​ 该结论十分强大，但我们只需要它的一个特例

（Hahn-Banach保范延拓）：设\(E\)赋范，\(f\)是子空间\(W\)上的线性有界算子，那么存在\(f\)的线性有界延拓\(\tilde{f}\)，使得\(||\tilde{f}|| = ||f||\)

​ 我们常用的是保范延拓的以下几个推论

设\(E\)赋范，\(0 \neq x_0 \in E\)，那么存在\(f \in E^*\)使得\(||f|| = 1\)且\(f(x_0) = ||x_0||\)

​ 该推论可以说明：\(||x_0||\)的值可以在\(E^*\)的单位球面上取到，与之相对的，\(||f||\)的值仅能在\(E\)的单位球面中取到上确界

设\(E\)赋范，\(W\)为\(E\)的闭子空间，\(x_0 \in E \setminus W\)，那么存在\(f \in E^*\)使得\(||f|| = 1, f|_W = 0\)且\(f(x_0) = d(x_0, W)\)

​ 该推论则可以说明：在\(Banach\)空间中，\(E\)自反当且仅当\(E^*\)自反

商空间与对偶空间

• 赋范空间下的商空间：当\(W\)为\(E\)的闭子空间时，定义\(||x+W||_{E/W}:= \inf_{w \in W} ||x+w||_E\)。那么在空间\(E/W\)上，\(||\cdot||_{E/W}\)为良定义并且构成范数，称\((E/W, ||\cdot||_{E/W})\)为赋范空间下的商空间

​ \(E\)完备时，\(E/W\)也是完备空间，商空间保持完备性。

​ 考虑\(\pi: E \to E/W\)为商投射，商投射具有性质\(\pi(B_E(0,r)) = B_{E/W}(0,r)\)，此可以推出\(||\pi|| = 1\)

（赋范空间下的同态基本定理）对赋范\(E,F\)，有线性映射\(f:E \to F\)：如果\(W \subseteq \ker f\)，其诱导线性有界算子\(\tilde{f}: E/W \to F\)，且\(f= \tilde{f}\pi\)。作为特例，其诱导线性有界双射\(\tilde{f}:E/\ker f \to \text{im} f\)

​ 以上定理使我们可以较为方便地调整研究的值域和定义域

• 伴随映射：对赋范\(E,F\)，设\(T \in L(E,F)\)，则\(\forall f \in F^*\)，\(f \circ T \in E^*\)，记映射\(T^* : f \to f \circ T\)为伴随映射。

  等价的定义为\(\forall x \in E, \forall f \in F^*, \langle Tx, f \rangle = \langle x, T^* f\rangle\)

  伴随映射有如下性质

  （1）伴随映射\(T \to T^*\)为保距线性映射，满足\(||T||=||T^*||\)，从而为单射

  （2）\((ST)^* = T^*S^*\)

  （3）设\(T \in L(E_1,E_2)\)，那么\(\varphi_2 T = T^{**} \varphi_1\)，这其实说明\(E_1, E_2, E_2^{**}, E_1^{**}\)按以上映射自然构成交换图

  （4）映射\(x \to x^{**}\)为保距映射

  （5）对\(x \in E\)，\(\forall f \in E^*, \langle x, f \rangle = 0\)，则\(x = 0\)

  （6）\((I_E)^* = I_{E^*}\)，如果\(T\)为同构，那么\((T^*)^{-1} = (T^{-1})^*\)

  性质（3）常用于联系\(E\)与\(E^{**}\)，性质（5）说明线性有界函数足以确认一个点

• 垂空间：对子空间\(W\)，定义\(W^{\perp} = \{y\in E^* : y|_W = 0\}\)，称为上垂空间。

  对\(E^*\)的子空间\(W'\)，定义\((W')_{\perp} = \{x \in E:(x^{**})|_{W'}=0\}\)，称为下垂空间。

  \(W^{\perp} = (\overline{\text{span}(W)})^{\perp}\)，下垂空间类似，上垂空间与下垂空间都是闭子空间。

​ 下面的定理揭示了垂空间和对偶空间之间的关系

设\(E\)赋范，\(\iota : W \to E\)为含入，则\(\ker \iota^* = W^{\perp}\)。

再设\(\pi : E^* \to E^* / W^{\perp}\)为商投射，则可写\(\iota^* = \bar{\iota} \pi\)，其中\(\bar{\iota}:E^* / W^{\perp} \to W^*\)为等距同构

设\(E\)赋范，\(W\)为闭子空间，\(\pi\)为到\(E/W\)的商投射，那么\(\pi^* : (E/W)^* \to W^{\perp}\)为等距同构

​ 上面两个定理可以说明：对\(E\)自反Banach空间，\(W\)为其闭子空间，那么\(W\)与\(E/W\)都自反

零散结论

像与核

在本节中，我们说明连续函数的像与核之间的关系

设\(T \in L(E,F)\)，那么

（1）\((\text{im} T)^{\perp} = \ker T^*\)，\(\overline{\text{im} T} = (\ker T^*)_{\perp}\)

（2）\((\text{im} T^*)_{\perp} = \ker T\)，且\(E\)自反时，\(\overline{\text{im} T^*} = (\ker T)^{\perp}\)

可以看出一般研究像集需要取闭包，下面给出一个判定像集是否为闭的准则

设\(T \in L(E,F)\)且\(E\)完备，如果\(\exists C > 0\)，使得\(\forall x \in E, ||Tx|| > C||x||\)，那么\(\text{im}T\)闭

可分

\(E^*\)可分，则\(E\)可分

重要定理

开映射定理

• 开映射：对度量空间\(X, Y\)和\(f : X \to Y\)，如果\(f\)将开集映射到开集，那么称\(f\)为开映射

  和连续映射同样，我们可以用\(\epsilon-\delta\)语言描述开映射，当然，可以选择逆映射的连续性描述

  （1）\(f\)为开映射当且仅当\(\forall x_0 \in X, \forall \epsilon > 0, \exists \delta, B_F(f(x_0), \delta) \subseteq f(B_E(x_0, \epsilon))\)

  （2）\(f\)为双射时，\(f\)为开映射当且仅当\(f^{-1}\)连续

  在赋范空间中，自然有更强的结论：\(f\)为开映射当且仅当\(\exists r, s > 0, B_F(0, s) \subseteq T(B_E(0, r))\)

  商投射是开映射，因此可扩写同态基本定理

（赋范空间下的同态基本定理，续）：对赋范\(E,F\)及线性映射\(f:E \to F\)：如果\(W \subseteq \ker f\)，可诱导线性有界\(\tilde{f}: E/W \to F\)，并且\(f = \tilde{f}\pi\)。那么，\(f\)为开映射当且仅当\(\tilde{f}\)为开映射，\(f\)为连续开映射当且仅当\(\tilde{f}\)同构。

​ 接下来介绍泛函分析王冠上的宝珠

（开映射定理）：设\(E,F\)为Banach空间，\(T:E\to F\)为连续线性满射，则\(T\)为开映射

​ 开映射有如下等价形式

（逆算子定理）：设\(E,F\)为Banach空间，\(T:E\to F\)为连续线性双射，则\(T^{-1}\)连续，\(T\)为同构

​ 称\(\text{gra}(f) = \{(x, f(x)):x\in X\}\)为\(f\)的图，当\(\text{gra}(f)\)为闭集时，称为闭图。当\(f\)连续时，\(\text{gra}(f)\)自然是闭图。

（闭图定理）：设\(E,F\)为Banach空间，\(T:E \to F\)线性，若\(\text{gra}(T)\)为闭图，那么\(T\)连续

​ 闭图定理常用\(T\)的连续性说明\(T^{-1}\)的连续性

一致有界定理

• 点态有界：对\(\{T_{\alpha}\} \subseteq L(E, F)\)，如果\(\forall x \in E\)，\(\sup \{||T_{\alpha} x||\} < \infty\)，则称函数族\(\{T_{\alpha}\}\)点态有界

• 一致有界：对\(\{T_{\alpha}\} \subseteq L(E, F)\)，如果\(\sup \{||T_{\alpha}||\} < \infty\)，则称函数族\(\{T_{\alpha}\}\)一致有界

  一致有界自然蕴含点态有界，反之见宝珠之定理：

（一致有界定理）：设\(E\)为Banach空间，\(F\)赋范，那么点态有界可导出一致有界

​ 下面是一致有界定理的重要推论

​ 设\(E\)为Banach空间，\(\{T_n\} \subseteq L(E,F)\)，如果\(\forall x \in E, \{T_nx\}\)存在极限，那么存在\(T \in L(E,F)\)使得\(||T|| \leq \liminf ||T_n||\)且\(\lim T_n x = Tx\)。用下一节的话语来说，完备赋范空间中的点态收敛蕴含序列强收敛。

弱

• 点列弱收敛：如果\(\forall x^* \in E^*\)，有\(\lim \langle x_n, x^* \rangle = \langle x_0, x^*\rangle\)，则称\(\{x_n\}\)弱收敛于\(x_0\)

• 点列弱\(*\)收敛：如果\(\forall x \in E\)，有\(\lim \langle x,x_n^*\rangle = \lim \langle x, x_0^*\rangle\)，则称\(\{x_n^*\}\)弱\(*\)收敛于\(x_0^*\)

  收敛强于弱收敛，弱收敛强于弱\(*\)收敛。弱收敛和弱\(*\)收敛有和收敛类似的性质：

  （1）弱（弱\(*\)）收敛极限唯一

  （2）设\(\{x_n\}\)弱（弱\(*\)）收敛于\(x_0\)，\(T\)连续，那么\(\{Tx_n\}\)弱（弱\(*\)）收敛于\(Tx_0\)

  （3）弱收敛序列有界，在\(E\)完备时，弱\(*\)收敛序列有界

  下面的引理介绍弱收敛与子空间间的关系

  （1）设\(W\)为赋范\(E\)的子空间，\(\{x_n\} \subseteq W, x_0 \in W\)，那么\(\{x_n\}\)在\(W\)中弱收敛于\(x_0\)当且仅当在\(E\)中弱收敛于\(x_0\)

  （2）设\(W\)为闭子空间，那么\(\{x_n\}\subseteq W\)在\(E\)中弱收敛于\(x_0\)时有\(x_0 \in W\)

• 弱Cauchy列：如果\(\forall x^* \in E^*\)，\(\{\langle x_n, x^*\rangle\}\)构成Cauchy列，则称\(\{x_n\}\)是弱Cauchy列，类似可定义弱\(*\)Cauchy列

• 弱序列完备：弱Cauchy列均弱收敛，类似的可定义弱\(*\)序列完备

  和弱序列的性质类似，弱Cauchy列有如下性质：弱Cauchy列有界，在\(E\)完备时，弱\(*\)Cauchy列有界

  当\(E\)自反时，\(E\)将弱序列完备

• 序列强收敛：如果\(\forall x \in E\)，有\(\lim T_n x = T_0x\)，则称\(\{T_n\}\)强收敛于\(T_0\)

• 序列弱收敛：如果\(\forall x \in E\)，\(\{T_nx\}\)弱收敛到\(T_0x\)，则称\(\{T_n\}\)弱收敛于\(T_0\)

  因收敛和弱收敛的极限唯一，因此序列强收敛和弱收敛的极限也唯一。类似的，在完备空间中，序列弱收敛时，映射列有界。

  此处名字非常混乱，因有下列事情成立：按范数收敛（收敛） \(\Rightarrow\) 点态收敛 \(\Rightarrow\) 序列强收敛 \(\Rightarrow\) 序列弱收敛，其中第二个推出主要用于说明点态收敛的极限一定存在

谱映射定理

以下都是复数域

• 正则值：设\(E\)为Banach空间，\(T \in L(E,E)\)，若\(\lambda I - T\)可逆，则称\(\lambda\)是\(T\)的正则值。正则值的全体称为预解集，记为\(\rho(T)\)。

• 谱值：使\(\lambda I -T\)不可逆的\(\lambda\)构成\(T\)的谱值，谱值的全体称为\(T\)的谱，记为\(\sigma(T)\)。谱分为以下三类：

  • \(\ker(\lambda I - T) \neq 0\)，因而存在非零特征向量\(x\)，也即\(Tx = \lambda x\)，此时称\(\lambda\)为\(T\)的点谱，也称为特征值，点谱的全体记为\(\sigma_p(T)\)
  • \(\ker (\lambda I - T) = 0, \overline{\text{im}(\lambda I - T)} = E\)，称\(\lambda\)为\(T\)的连续谱，连续谱的全体记为\(\sigma_c(T)\)
  • \(\ker(\lambda I - T) = 0, \overline{\text{im}(\lambda I - T)} \neq E\)，称\(\lambda\)为\(T\)的剩余谱，剩余谱的全体记为\(\sigma_r(T)\)

  值得注意的是，由逆算子定理，当\(\lambda I - T\)不可逆时，\(\ker(\lambda I - T) = 0\)将导出\(\text{im}(\lambda I - T) \neq E\)。点谱是性质最好的谱，剩余谱是性质最差的谱。

（谱映射定理）：设\(E\)为Banach空间，\(T \in L(E,E)\)，\(p(z)\)为多项式，那么\(\sigma(p(T)) = p(\sigma(T))\)

谱半径公式

​ 下面的工作主要在于定义谱半径

（Gerschgorin圆盘定理）：设\(E\)为Banach空间，\(T \in L(E, E)\)，那么\(\sigma(T)\)为紧集，且\(\sigma(T) \subseteq B_{\mathbb{C}}(0, ||T||)\)

​ 一个不平凡的结论是：在Banach空间下，\(\sigma(T)\)非空。

• 谱半径：对Banach空间\(E\)，\(T \in L(E,E)\)，\(r(T) = \max\{|z|:z \in \sigma(T)\}\)称为\(T\)的谱半径

（谱半径公式）：设\(E\)为Banach空间，\(T \in L(E,E)\)，那么\(r(T) = \lim_{n \to \infty} ||T^n||^{1/n}\)

结尾吐槽

到一致有界定理为止便是本门课的期中内容了，那么期中考了什么呢？一道Banach映射相关的题，一道紧性的题，一道乱七八糟的举例子题，一道私货题。考的内容之八九在前两周讲完了，甚至紧性因实变已讲直接跳过了，如此本门课的期中考试变得十分之搞笑滑稽，如何对得起泛函分析之名号？不如改名数学分析之期中，或更加之合适。

这门课是与李代数一同上的，隔壁班老师正好是做李代数的，泛函分析中鼎鼎大名的Lax-Milgram定理只能作为李代数研究过程中的一个小引理出现，令人哭笑不得。