泛函分析（中）

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虽然名字叫中，但该系列已经完结了，泛函分析博大精深，啥玩意都能叫泛函分析，下就留给遐想吧

此节课中，将先完善这门课的工具，之后进行一些经典空间的分析。

Hilbert空间

基础

  • 内积空间：满足正定性、复共轭对称性、复共轭双线性性的玩意就是内积，带着内积的空间就是内积空间

​ 内积空间下有重要的Cauchy不等式，\(|\langle x, y\rangle| \leq ||x||\cdot ||y||\)。值得说明的是，在之前我们用符号\(\langle x, y\rangle\)时，\(y\)有时指\(E^*\)中的元素，尽管意义不同，此时也有\(|\langle x, y\rangle| \leq ||x||\cdot ||y||\)。通过Riesz表示定理，我们可以把后式看作Cauchy不等式的推广。

​ 内积空间可以通过\(||\cdot|| = \sqrt{\langle \cdot, \cdot \rangle}\)导出范数空间。范数空间中的范数满足平行四边形法则\(||x+y||^2 + ||x-y||^2 = 2(||x||^2 + ||y||^2)\)时，可以通过极化恒等式导出内积。内积是连续函数。在内积空间中，保内积和保范映射等价。

  • 同构：称\(H_1,H_2\)同构，如果存在\(U:H_1 \to H_2\)是线性双射并且是等距同构。

  • Hilbert空间：完备的内积空间

  • 正交：如果\(\langle x, y \rangle = 0\)，记为\(x \perp y\)，称\(x\)与\(y\)正交。

    \(x \perp y\)时，\(||x+y||^2 = ||x||^2 + ||y||^2\)。

  • 正交补：设\(X\)是子空间，\(X^{\perp} := \{z : z \perp X\}\)称为\(X\)的正交补

    \(X^{\perp} = \overline{\text{span}(X)}^{\perp}\)，且正交补是闭子空间

一致凸

  • 一致凸：设\(E\)赋范，若\(\forall \epsilon > 0\)，\(\exists \delta > 0\)，当\(x, y\)满足\(||x||=||y|| = 1\)且\(||x-y|| > \epsilon\)时，有\(||\frac{1}{2}(x+y)|| < 1-\delta\)，则称\(E\)一致凸

​ 一致凸具有较良好的性质

设\(E\)是一致凸Banach空间，如果\(\{x_n\}\)弱收敛于\(x_0\)且\(\{||x_n||\}\)收敛于\(||x_0||\)，那么\(\{x_n\}\)收敛于\(x_0\)

​ 内积空间根据平行四边形法则，是一致凸的空间

直和分解

（正交投影定理）：设\(H\)是一致凸赋范空间，\(M\)是\(E\)的完备凸子集，任取\(x \in E\)，存在唯一的\(y \in M\)使\(||x-y||=d(x, M)\)

​ 根据正交投影定理，可得

（正交分解定理）：设\(H\)是内积空间，\(W\)是\(H\)的完备子空间，则\(H = W \oplus W^{\perp}\)

​ 该定理的推论为：对Hilbert空间\(H\)以及闭子空间\(W\)，\(H = W \oplus W^{\perp}\)

幺正基

  • 幺正系：在Hilbert空间中，设\(\{e_j\}\)为两两正交的单位向量，则称\(\{e_j\}\)为幺正系

​ 有如下重要的不等式与等式

（Bessel不等式）：设\(\{e_n\}\)为幺正系，\(\sum_{n=1}^{\infty} |\langle x, e_n \rangle|^2 \leq ||x||^2\)且\(\sum_{n=1}^{\infty} \langle x, e_n\rangle e_n\)无条件收敛

（Parseval等式）：\(\sum_{n=1}^{\infty} |\langle x, e_n\rangle|^2 = ||x||^2\)当且仅当\(\sum_{n=1}^{\infty} \langle x,e_n\rangle e_n = x\)

​ 根据Bessel不等式，我们可以说明对幺正系\(\{e_j\}\)，\(\{\langle x, e_j\rangle\}\)中至多有可数个非零项，并且可以定义\(\sum_{j} \langle x,e_j\rangle e_j\)

  • 幺正基：设幺正系\(\{e_j\}\)满足\(\forall x, x = \sum_{j} \langle x, e_j \rangle e_j\)，则称\(\{e_j\}\)为幺正基

​ 幺正基有下列等价刻画：（1）\(\{e_j\}\)为极大幺正系（2）\(\forall x, ||x||^2 = \sum_j |\langle x, e_j\rangle|^2\) （3）\(\overline{\text{span}(\{e_j\})}=H\)

​ 幺正基之间互相等势，称幺正基的维数为Hilbert维数。和有限维情况类似，两个Hilbert空间同构当且仅当Hilbert维数相同。而一个有趣的事实是Hilbert空间可分当且仅当其Hilbert维数至多可数。

Riesz表示定理

​ 固定内积中的第二维\(y\)，则\(\langle x, y\rangle\)可以视为关于\(x\)的线性泛函，且因\(\langle x, y\rangle \leq ||x||\cdot ||y||\)，该线性泛函为有界的。我们设该映射为\(\tau\)。\(\tau\)是复共轭线性保距映射，且\(\ker(\tau y) = \{y\}^{\perp}\)。

​ Riesz表示定理说明内积作为双线性型，其伴随表示和空间中的伴随映射存在一一映射

（Riesz表示定理）设\(H\)是Hilbert空间，\(f \in H^*\)，那么存在唯一的\(y \in H\)，使得\(\tau y = f\)

​ 根据Riesz表示定理，\(\tau:H \to H^*\)实为复共轭线性等距同构，因而不难得到：Hilbert空间是自反的Banach空间

自伴算子

  • 伴随映射：在Hilbert空间\(H_1, H_2\)中，设\(A \in L(H_1, H_2)\)满足\(\forall x \in H_1, y \in H_2\)，\(\langle Ax, y\rangle = \langle x, A^*y\rangle\)，那么称\(A^*\)为\(A\)之伴随映射

​ 这里的\(\langle \cdot, \cdot\rangle\)对应内积，实际上\(A^* = \tau_1^{-1} \bar{A}^* \tau_2 : H_2 \to H_1\)。这里\(\bar{A}^*\)是在赋范空间意义下的伴随映射，性质也因此稍有不同：

​ （1）\(A \to A^*\)是复共轭线性保距映射（2）\((BA)^* = A^*B^*\) （3）\(A^{**} = A\) （4）像与核之间的关系同之前的写法

​ 当取\(H_1 = H_2 = H\)时，\(A, A^* \in L(H, H)\)，可以进行比较

  • 自伴算子：对\(A \in L(H, H)\)，若\(A = A^*\)，称\(A\)为自伴算子

  • 正规算子：对\(A \in L(H,H)\)，若\(AA^* = A^*A\)，称\(A\)为正规算子

    自伴算子是特殊的正规算子，正规算子具有更好的性质

设\(A \in L(H,H)\)，那么

（1）\(\ker A = \ker A^* = \ker A^2\)

（2）\((\text{im} A)^{\perp} = \ker A\)，\(\overline{\text{im} A} = (\ker A)^{\perp}\)

  • 酉算子：对\(A \in L(H,H)\)，若\(A\)保距，称\(A\)为酉算子

    和有限维情况类似，\(A\)为酉算子当且仅当\(AA^* = A^*A = I\)，这又当且仅当\(A\)保距且正规

​ 当\(A\)是自伴算子时，我们可以定义二次型

  • 二次型：设\(H\)为Hilbert空间，\(A \in L(H,H)\)自伴，定义\((x,y) = \langle Ax, y\rangle\)，那么\((\cdot, \cdot)\)有复共轭对称性和复共轭双线性性

    \(q(x) = (x,x)\)则称为二次型

​ 一般来说，二次型可以通过极化恒等式表达出所有的\((x,y)\)

​ 在复数域内\(\forall x, \langle Ax,x\rangle = 0\)时，可推导出\(A=0\)。但在实数域内，\(\forall x, \langle Ax,x\rangle = 0\)需要补充\(A\)自伴的条件，方有\(A=0\)。

​ 对\(A-A^*\)进行考虑，得到\(A=A^*\)当且仅当\(\langle Ax, x\rangle \in \mathbb{R}\)

​ 自伴算子的范数可以通过单位球面上的双线性型进行刻画：\(||A|| = \sup\{|\langle Ax, x\rangle:||x||=1\}\)

\(||A||^2 = ||A^*||^2 = ||AA^*||\)

紧算子

下面的讨论应该归属于Riesz-Schauder理论

基础

  • 紧算子：设\(E,F\)赋范，\(T \in L(E, F)\)，\(\overline{T(B_E(0,1))}\)是紧集，则称\(T\)为紧映射

    等价的说法是\(T(B_E(0,1))\)是相对紧集

​ 紧算子还有如下的等价定义：（1）\(T\)将有界紧映射到相对紧集（2）对有界数列\(\{x_n\}\)，\(\{Tx_n\}\)有收敛子列

​ 一个比较无聊的命题是：\(I_E\)是紧算子当且仅当\(E\)有限维，这是由有限维赋范空间的局部准紧性质决定的

​ 因有限维空间中有界集均有相对紧集，有限秩算子一定是紧算子。有限秩算子和紧算子构成子空间，记紧算子空间为\(L_0\)，有限秩算子空间为\(L_{00}\)。当\(S,T\)中有一者紧时，\(ST\)也将是紧算子。

下面是我们常用之定理

\(F\)完备时，\(L_0\)是\(L\)的闭子空间

​ 我们想证明映射为紧算子时，可以尝试用有限秩的算子进行逼近

​ 特别的，在赋范空间\(E\)到Hilbert空间\(H\)的映射中，甚至有\(\overline{L_{00}(E,H)} = L_0(E,H)\)

​ 最后是常用结论：设\(\{x_n\}\)为弱收敛序列，\(T\)紧，则\(\{Tx_n\}\)收敛

​ 紧算子的伴随映射的紧性也维持地较好

（Schauder定理）：设\(E,F\)赋范，\(T \in L(E,F)\)，则\(T \in L_0(E, F)\)时有\(T^* \in L_0(F^*, E^*)\)。反之，当\(T^* \in L_0(F^*, E^*)\)且\(F\)完备时，\(T \in L_0(E,F)\)。

谱论

​ 到这里就直接陈述结论了，具体过程不进行详述了

设\(E\)线性空间，设\(A \in End(E)\)，若存在\(n_1, n_2\)使得\(\ker A^{n_1} = \ker A^{n_1 + 1}\)以及\(\text{im} A^{n_2} = \text{im} A^{n_2 + 1}\)，那么存在\(n_0\)，使得\(\ker A^{n} = \ker A^{n + 1}\)以及\(\text{im} A^{n} = \text{im} A^{n + 1}\)仅对一切\(n \geq n_0\)成立。此时定义\(F_1=\ker A^{\infty} = \ker A^{n_0}, F_2 = \text{im} A^{\infty} = \text{im} A^{n_0}\)，\(E\)有直和分解\(F_1 \oplus F_2\)，\(A|_{F_1}\)为自同构，\(A^{n_0}|_{F_2} = 0\)

​ 之后我们直接陈述最终的结论

设\(E\)为Banach空间，\(T \in L_0(E,E)\)，那么

（1）\(\sigma(T) \setminus \{0\} \subseteq \sigma_p(T)\)，且当\(\dim E = \infty\)时，\(0 \in \sigma(T)\)

（2）任取\(\lambda \in \sigma(T) \setminus \{0\}\)，记\(V_{\lambda} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \ker(\lambda I - T)^n\)，那么\(\dim V_{\lambda} < \infty\)且\((\lambda I - T)|_{V_{\lambda}}\)幂零

（3）取\(\{\lambda_i\}_{i=1}^k \subseteq \sigma(T) \setminus \{0\}\)，那么\(E = V_{\lambda_1} \oplus ... \oplus V_{\lambda_k} \oplus W\)，\(W\)是\(T\)的不变子空间，\(\sigma(T|_W) = \sigma(T) \setminus \{\lambda_i\}_{i=1}^k\)

（4）\(\forall \lambda \neq 0\)，\(\lambda\)不是\(\sigma(T)\)的聚点

​ 也存在好用的中间结论

设\(E\)为Banach空间，\(T \in L_0(E,E)\)，那么对\(\lambda \neq 0, n > 0\)

（1）\(\dim \ker(\lambda I - T)^n < \infty\)

（2）\(\text{im}(\lambda I - T)^n\)闭，且\(\dim \text{coker}(\lambda I - T)^n = \dim \ker(\lambda I - T^*)^n < \infty\)

​ 其中的\(\dim \text{coker} A\)为\(\text{im} A\)的余维

自伴算子

​ 以下定理说明正规算子的谱论将有漂亮的分类结果

设\(A\)正规，则\(r(A) = ||A||\)，进一步，\(||A||^n = ||A^n||\)

​ 为了应用谱映射定理，先说明一点：对多项式\(p\)，\(A\)正规自然\(p(A)\)正规。而\(p\)是实系数多项式时，\(A\)自伴则\(p(A)\)自伴。

设\(A\)为正规算子

（1）\(\sigma_r(A) = \emptyset\)

（2）\(V_{\lambda} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \ker(\lambda I - A)^n = \ker(\lambda I - A)\)

（3）\(\lambda \in \sigma_p(A)\)当且仅当\(\lambda^* \in \sigma_p(A^*)\)，且\(V_{\lambda}(A) = V_{\lambda^*}(A^*)\)

（4）\(\lambda_1, \lambda_2 \in \sigma_p(A)\)且\(\lambda_1 \neq \lambda_2\)时，\(V_{\lambda_1}(A) \perp V_{\lambda_2}(A)\)

​ 和有限维情况类似的有：对自伴算子\(A\)，\(\sigma(A) \subseteq \mathbb{R}\)

​ 仍和有限维一样，二次型可刻画自伴算子的谱：\(\max \sigma(A) = \sup \{\langle Ax,x\rangle : ||x||=1\}\)，\(\min \sigma(A)\)类似

  • 正算子：设\(A\)自伴，如果\((x,x)_A\geq 0\)恒成立，则称\(A\)是正算子，记为\(A \geq 0\)

​ 正算子对应半正定，\(A - B \geq 0\)时，也记为\(A \geq B\)

​ 和有限维一样，\(A \geq 0\)当且仅当\(\min \sigma(A) \geq 0\)

​ 常用的结论：\(A^*A \geq 0\)，利用该形式可以较方便的求\(||A||\)

例子

\(L^p[a,b]\)

​ 下述结果的讨论可以扩展到\(\sigma-\)有限的测度空间中，但我们省略

​ 当\(p<\infty\)时，\(L^p[a,b]\)是完备、可分的空间

​ 当\(p=\infty\)时，\(L^{\infty}[a,b]\)是完备但不可分的空间

​ 我们有如下重要的不等式

当\(2 \leq p < \infty\)时，\(||f+g||^p_p + ||f-g||_p^p \leq 2^{p-1}(||f||_p^p + ||g||_p^p)\)

当\(1 < p \leq 2\)时，\(||f+g||_p^{p'} + ||f-g||_p^{p'} \leq 2(||f||_p^p + ||g||_p^p)^{p'-1}\)

​ 该不等式说明：\(1<p<\infty\)时，\(L^p\)空间一致凸且自反

​ 如下为对偶表示的要论

设\(1 \leq p \leq \infty\)，对\(f \in L^p, g \in L^{p'}\)，定义\(\langle f, g\rangle = \int fg\)，那么：当\(1 < p \leq \infty\)时，\(Tg = \langle \cdot, g\rangle\)为\(L^{p} \to (L^{p'})^*\)的等距同构

​ 注意我们未说明\(L^1\)关于\((L^{\infty})^*\)的对偶表示，这一般是不成立的

\(C[a,b]\)

​ 一般在\(C[a,b]\)上考虑\(L^{\infty}\)范数，\(C[a,b]\)是完备、可分的空间

​ 研究紧性则考虑下面的重要定理

  • 等度连续：对\(A \subseteq C[a,b]\)，若\(\forall \epsilon > 0\)，存在\(\delta > 0\)，当\(|x_1-x_2| < \delta\)时，\(\forall f \in A\)，有\(|f(x_1)-f(x_2)| < \epsilon\)，则称\(A\)等度连续

（Arzela-Ascoli定理）\(A \subseteq C[a,b]\)相对紧当且仅当\(A\)有界并且等度连续

​ \(C[a,b]\)的一类重要的子空间为\(C^k[a,b]\)，在其上有\(C^k\)范数：\(||f||_{C^k} := \sum_{i=0}^k \max_{x \in [a,b]} |f^{(i)}(x)|\)，\(C^k\)和\(L^{\infty}\)范数等价，也即\(\exists C>0\)，使得\(||f||_{C^k} \leq C \cdot ||f||_{L^{\infty}}\)。由此，我们知道\((C^k, ||\cdot||_{C^k})\)也是完备、可分的空间。

​ 该定理的重要推论是：对\(m>l\geq0\)，\(I:(C^m[a,b],L^{\infty}) \to (C^l[a,b], L^{\infty})\)为紧映射

​ \(C[a,b]\)是\(L^p[a,b]\)的子空间，但对\(1 \leq p < \infty\)，\((C[a,b], L^p)\)不完备，故\(C[a,b]\)非闭子空间（\(C[0,1]\)上，考虑\(x^n\)的极限）

​ \(C[a,b]\)的对偶表示与测度相关

（Riesz表示定理）：设\(K\)为紧Hausdorff空间，记\(M(K)\)为所有有限正则Borel测度的全体，对\(f\in C(K), \mu \in M(K)\)，定义\(\langle f, \mu\rangle = \int f d\mu\)，那么\(T\mu = \langle \cdot, \mu\rangle\)为\(M(K) \to (C(K))^*\)的等距同构

​ 根据Riesz表示定理，可简化\(C[a,b]\)中的弱收敛

在紧Hausdorff空间中，\(\{f_n\} \cup \{f_0\} \subseteq C(K)\)，\(\{f_n\} \overset{w}\to f_0\)当且仅当\(\sup \{||f_n||\} < \infty\)且\(\{f_n\}\)点态收敛于\(f_0\)

零散例子

​ 在序列上，也有相应的\(l^{p}\)空间

​ 我们较容易得到对偶表示：对\(f \in l^p, g \in l^{p'}\)，定义\(\langle f, g\rangle = \sum f_i g_i\)，该求和收敛，定义为良定义

​ 那么按映射\(T\)为\(Tb = \langle \cdot, b\rangle\)，可说明\(T:l^p \to (l^{p'})^*\)为等距同构

​ 唯一的例外便是\(l^1\)，定义\(c_0\)为序列极限为\(0\)的序列，\(c_0\)为\(l^{\infty}\)的闭子空间，并且\(T:l^1 \to (c_0)^*\)为等距同构

​ \(l_1\)还有如下的特性：

\(l_1\)中弱收敛和收敛等价