泛函分析（中）

此节课中，将先完善这门课的工具，之后进行一些经典空间的分析。

Hilbert空间

基础

• 内积空间：满足正定性、复共轭对称性、复共轭双线性性的玩意就是内积，带着内积的空间就是内积空间

​ 内积空间下有重要的Cauchy不等式，$|⟨x,y⟩|\le ||x||\cdot ||y||$。值得说明的是，在之前我们用符号$⟨x,y⟩$时，$y$有时指$E^{\ast }$中的元素，尽管意义不同，此时也有$|⟨x,y⟩|\le ||x||\cdot ||y||$。通过Riesz表示定理，我们可以把后式看作Cauchy不等式的推广。

​ 内积空间可以通过$||\cdot ||=\sqrt{⟨\cdot ,\cdot ⟩}$导出范数空间。范数空间中的范数满足平行四边形法则$||x+y|{|}^2+||x-y|{|}^2=2(||x|{|}^2+||y|{|}^2)$时，可以通过极化恒等式导出内积。内积是连续函数。在内积空间中，保内积和保范映射等价。

• 同构：称$H_1,H_2$同构，如果存在$U:H_1\to H_2$是线性双射并且是等距同构。

• Hilbert空间：完备的内积空间

• 正交：如果$⟨x,y⟩=0$，记为$x\perp y$，称$x$与$y$正交。

  $x\perp y$时，$||x+y|{|}^2=||x|{|}^2+||y|{|}^2$。

• 正交补：设$X$是子空间，$X^{\perp }:=\{z:z\perp X\}$称为$X$的正交补

  $X^{\perp }={\overline{\text{span}(X)}}^{\perp }$，且正交补是闭子空间

一致凸

• 一致凸：设$E$赋范，若$\mathrm{\forall }ϵ>0$，$\mathrm{\exists }\delta >0$，当$x,y$满足$||x||=||y||=1$且$||x-y||>ϵ$时，有$||\frac{1}{2}(x+y)||<1-\delta$，则称$E$一致凸

​ 一致凸具有较良好的性质

设$E$是一致凸Banach空间，如果$\{x_n\}$弱收敛于$x_0$且$\{||x_n||\}$收敛于$||x_0||$，那么$\{x_n\}$收敛于$x_0$

​ 内积空间根据平行四边形法则，是一致凸的空间

直和分解

（正交投影定理）：设$H$是一致凸赋范空间，$M$是$E$的完备凸子集，任取$x\in E$，存在唯一的$y\in M$使$||x-y||=d(x,M)$

​ 根据正交投影定理，可得

（正交分解定理）：设$H$是内积空间，$W$是$H$的完备子空间，则$H=W\oplus W^{\perp }$

​ 该定理的推论为：对Hilbert空间$H$以及闭子空间$W$，$H=W\oplus W^{\perp }$

幺正基

• 幺正系：在Hilbert空间中，设$\{e_j\}$为两两正交的单位向量，则称$\{e_j\}$为幺正系

​ 有如下重要的不等式与等式

（Bessel不等式）：设$\{e_n\}$为幺正系，$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|⟨x,e_n⟩{|}^2\le ||x|{|}^2$且$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}⟨x,e_n⟩e_n$无条件收敛

（Parseval等式）：$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|⟨x,e_n⟩{|}^2=||x|{|}^2$当且仅当$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}⟨x,e_n⟩e_n=x$

​ 根据Bessel不等式，我们可以说明对幺正系$\{e_j\}$，$\{⟨x,e_j⟩\}$中至多有可数个非零项，并且可以定义$\sum _j⟨x,e_j⟩e_j$

• 幺正基：设幺正系$\{e_j\}$满足$\mathrm{\forall }x,x=\sum _j⟨x,e_j⟩e_j$，则称$\{e_j\}$为幺正基

​ 幺正基有下列等价刻画：（1）$\{e_j\}$为极大幺正系（2）$\mathrm{\forall }x,||x|{|}^2=\sum _j|⟨x,e_j⟩{|}^2$ （3）$\overline{\text{span}(\{e_j\})}=H$

​ 幺正基之间互相等势，称幺正基的维数为Hilbert维数。和有限维情况类似，两个Hilbert空间同构当且仅当Hilbert维数相同。而一个有趣的事实是Hilbert空间可分当且仅当其Hilbert维数至多可数。

Riesz表示定理

​ 固定内积中的第二维$y$，则$⟨x,y⟩$可以视为关于$x$的线性泛函，且因$⟨x,y⟩\le ||x||\cdot ||y||$，该线性泛函为有界的。我们设该映射为$\tau$。$\tau$是复共轭线性保距映射，且$\ker (\tau y)=\{y{\}}^{\perp }$。

​ Riesz表示定理说明内积作为双线性型，其伴随表示和空间中的伴随映射存在一一映射

（Riesz表示定理）设$H$是Hilbert空间，$f\in H^{\ast }$，那么存在唯一的$y\in H$，使得$\tau y=f$

​ 根据Riesz表示定理，$\tau :H\to H^{\ast }$实为复共轭线性等距同构，因而不难得到：Hilbert空间是自反的Banach空间

自伴算子

• 伴随映射：在Hilbert空间$H_1,H_2$中，设$A\in L(H_1,H_2)$满足$\mathrm{\forall }x\in H_1,y\in H_2$，$⟨Ax,y⟩=⟨x,A^{\ast }y⟩$，那么称$A^{\ast }$为$A$之伴随映射

​ 这里的$⟨\cdot ,\cdot ⟩$对应内积，实际上$A^{\ast }={\tau }_1^{-1}{\overline{A}}^{\ast }{\tau }_2:H_2\to H_1$。这里${\overline{A}}^{\ast }$是在赋范空间意义下的伴随映射，性质也因此稍有不同：

​ （1）$A\to A^{\ast }$是复共轭线性保距映射（2）$(BA{)}^{\ast }=A^{\ast }{B}^{\ast }$ （3）$A^{\ast \ast }=A$ （4）像与核之间的关系同之前的写法

​ 当取$H_1=H_2=H$时，$A,A^{\ast }\in L(H,H)$，可以进行比较

• 自伴算子：对$A\in L(H,H)$，若$A=A^{\ast }$，称$A$为自伴算子

• 正规算子：对$A\in L(H,H)$，若$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A$，称$A$为正规算子

  自伴算子是特殊的正规算子，正规算子具有更好的性质

设$A\in L(H,H)$，那么

（1）$\ker A=\ker A^{\ast }=\ker A^2$

（2）$(\text{im}A{)}^{\perp }=\ker A$，$\overline{\text{im}A}=(\ker A{)}^{\perp }$

• 酉算子：对$A\in L(H,H)$，若$A$保距，称$A$为酉算子

  和有限维情况类似，$A$为酉算子当且仅当$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=I$，这又当且仅当$A$保距且正规

​ 当$A$是自伴算子时，我们可以定义二次型

• 二次型：设$H$为Hilbert空间，$A\in L(H,H)$自伴，定义$(x,y)=⟨Ax,y⟩$，那么$(\cdot ,\cdot )$有复共轭对称性和复共轭双线性性

  $q(x)=(x,x)$则称为二次型

​ 一般来说，二次型可以通过极化恒等式表达出所有的$(x,y)$

​ 在复数域内$\mathrm{\forall }x,⟨Ax,x⟩=0$时，可推导出$A=0$。但在实数域内，$\mathrm{\forall }x,⟨Ax,x⟩=0$需要补充$A$自伴的条件，方有$A=0$。

​ 对$A-A^{\ast }$进行考虑，得到$A=A^{\ast }$当且仅当$⟨Ax,x⟩\in \mathbb{R}$

​ 自伴算子的范数可以通过单位球面上的双线性型进行刻画：$||A||=sup\{|⟨Ax,x⟩:||x||=1\}$

$||A|{|}^2=||A^{\ast }|{|}^2=||A{A}^{\ast }||$

紧算子

下面的讨论应该归属于Riesz-Schauder理论

基础

• 紧算子：设$E,F$赋范，$T\in L(E,F)$，$\overline{T(B_E(0,1))}$是紧集，则称$T$为紧映射

  等价的说法是$T(B_E(0,1))$是相对紧集

​ 紧算子还有如下的等价定义：（1）$T$将有界紧映射到相对紧集（2）对有界数列$\{x_n\}$，$\{T{x}_n\}$有收敛子列

​ 一个比较无聊的命题是：$I_E$是紧算子当且仅当$E$有限维，这是由有限维赋范空间的局部准紧性质决定的

​ 因有限维空间中有界集均有相对紧集，有限秩算子一定是紧算子。有限秩算子和紧算子构成子空间，记紧算子空间为$L_0$，有限秩算子空间为$L_{00}$。当$S,T$中有一者紧时，$ST$也将是紧算子。

下面是我们常用之定理

$F$完备时，$L_0$是$L$的闭子空间

​ 我们想证明映射为紧算子时，可以尝试用有限秩的算子进行逼近

​ 特别的，在赋范空间$E$到Hilbert空间$H$的映射中，甚至有$\overline{L_{00}(E,H)}=L_0(E,H)$

​ 最后是常用结论：设$\{x_n\}$为弱收敛序列，$T$紧，则$\{T{x}_n\}$收敛

​ 紧算子的伴随映射的紧性也维持地较好

（Schauder定理）：设$E,F$赋范，$T\in L(E,F)$，则$T\in L_0(E,F)$时有$T^{\ast }\in L_0(F^{\ast },E^{\ast })$。反之，当$T^{\ast }\in L_0(F^{\ast },E^{\ast })$且$F$完备时，$T\in L_0(E,F)$。

谱论

​ 到这里就直接陈述结论了，具体过程不进行详述了

设$E$线性空间，设$A\in End(E)$，若存在$n_1,n_2$使得$\ker A^{n_1}=\ker A^{n_1+1}$以及$\text{im}{A}^{n_2}=\text{im}{A}^{n_2+1}$，那么存在$n_0$，使得$\ker A^n=\ker A^{n+1}$以及$\text{im}{A}^n=\text{im}{A}^{n+1}$仅对一切$n\ge n_0$成立。此时定义$F_1=\ker A^{\mathrm{\infty }}=\ker A^{n_0},F_2=\text{im}{A}^{\mathrm{\infty }}=\text{im}{A}^{n_0}$，$E$有直和分解$F_1\oplus F_2$，$A{|}_{F_1}$为自同构，$A^{n_0}{|}_{F_2}=0$

​ 之后我们直接陈述最终的结论

设$E$为Banach空间，$T\in L_0(E,E)$，那么

（1）$\sigma (T)\setminus \{0\}\subseteq {\sigma }_p(T)$，且当$\dim E=\mathrm{\infty }$时，$0\in \sigma (T)$

（2）任取$\lambda \in \sigma (T)\setminus \{0\}$，记$V_{\lambda }=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\ker (\lambda I-T{)}^n$，那么$\dim V_{\lambda }<\mathrm{\infty }$且$(\lambda I-T){|}_{V_{\lambda }}$幂零

（3）取$\{{\lambda }_i{\}}_{i=1}^k\subseteq \sigma (T)\setminus \{0\}$，那么$E=V_{{\lambda }_1}\oplus ...\oplus V_{{\lambda }_k}\oplus W$，$W$是$T$的不变子空间，$\sigma (T{|}_W)=\sigma (T)\setminus \{{\lambda }_i{\}}_{i=1}^k$

（4）$\mathrm{\forall }\lambda \ne 0$，$\lambda$不是$\sigma (T)$的聚点

​ 也存在好用的中间结论

设$E$为Banach空间，$T\in L_0(E,E)$，那么对$\lambda \ne 0,n>0$

（1）$\dim \ker (\lambda I-T{)}^n<\mathrm{\infty }$

（2）$\text{im}(\lambda I-T{)}^n$闭，且$\dim \text{coker}(\lambda I-T{)}^n=\dim \ker (\lambda I-T^{\ast }{)}^n<\mathrm{\infty }$

​ 其中的$\dim \text{coker}A$为$\text{im}A$的余维

自伴算子

​ 以下定理说明正规算子的谱论将有漂亮的分类结果

设$A$正规，则$r(A)=||A||$，进一步，$||A|{|}^n=||A^n||$

​ 为了应用谱映射定理，先说明一点：对多项式$p$，$A$正规自然$p(A)$正规。而$p$是实系数多项式时，$A$自伴则$p(A)$自伴。

设$A$为正规算子

（1）${\sigma }_r(A)=\mathrm{\varnothing }$

（2）$V_{\lambda }=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\ker (\lambda I-A{)}^n=\ker (\lambda I-A)$

（3）$\lambda \in {\sigma }_p(A)$当且仅当${\lambda }^{\ast }\in {\sigma }_p(A^{\ast })$，且$V_{\lambda }(A)=V_{{\lambda }^{\ast }}(A^{\ast })$

（4）${\lambda }_1,{\lambda }_2\in {\sigma }_p(A)$且${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$时，$V_{{\lambda }_1}(A)\perp V_{{\lambda }_2}(A)$

​ 和有限维情况类似的有：对自伴算子$A$，$\sigma (A)\subseteq \mathbb{R}$

​ 仍和有限维一样，二次型可刻画自伴算子的谱：$max\sigma (A)=sup\{⟨Ax,x⟩:||x||=1\}$，$min\sigma (A)$类似

• 正算子：设$A$自伴，如果$(x,x{)}_A\ge 0$恒成立，则称$A$是正算子，记为$A\ge 0$

​ 正算子对应半正定，$A-B\ge 0$时，也记为$A\ge B$

​ 和有限维一样，$A\ge 0$当且仅当$min\sigma (A)\ge 0$

​ 常用的结论：$A^{\ast }A\ge 0$，利用该形式可以较方便的求$||A||$

例子

$L^p[a,b]$

​ 下述结果的讨论可以扩展到$\sigma -$有限的测度空间中，但我们省略

​ 当$p<\mathrm{\infty }$时，$L^p[a,b]$是完备、可分的空间

​ 当$p=\mathrm{\infty }$时，$L^{\mathrm{\infty }}[a,b]$是完备但不可分的空间

​ 我们有如下重要的不等式

当$2\le p<\mathrm{\infty }$时，$||f+g|{|}_p^p+||f-g|{|}_p^p\le 2^{p-1}(||f|{|}_p^p+||g|{|}_p^p)$

当$1<p\le 2$时，$||f+g|{|}_p^{p^{\prime }}+||f-g|{|}_p^{p^{\prime }}\le 2(||f|{|}_p^p+||g|{|}_p^p{)}^{p^{\prime }-1}$

​ 该不等式说明：$1<p<\mathrm{\infty }$时，$L^p$空间一致凸且自反

​ 如下为对偶表示的要论

设$1\le p\le \mathrm{\infty }$，对$f\in L^p,g\in L^{p^{\prime }}$，定义$⟨f,g⟩=\int fg$，那么：当$1<p\le \mathrm{\infty }$时，$Tg=⟨\cdot ,g⟩$为$L^p\to (L^{p^{\prime }}{)}^{\ast }$的等距同构

​ 注意我们未说明$L^1$关于$(L^{\mathrm{\infty }}{)}^{\ast }$的对偶表示，这一般是不成立的

$C[a,b]$

​ 一般在$C[a,b]$上考虑$L^{\mathrm{\infty }}$范数，$C[a,b]$是完备、可分的空间

​ 研究紧性则考虑下面的重要定理

• 等度连续：对$A\subseteq C[a,b]$，若$\mathrm{\forall }ϵ>0$，存在$\delta >0$，当$|x_1-x_2|<\delta$时，$\mathrm{\forall }f\in A$，有$|f(x_1)-f(x_2)|<ϵ$，则称$A$等度连续

（Arzela-Ascoli定理）$A\subseteq C[a,b]$相对紧当且仅当$A$有界并且等度连续

​ $C[a,b]$的一类重要的子空间为$C^k[a,b]$，在其上有$C^k$范数：$||f|{|}_{C^k}:=\sum _{i=0}^k\underset{x\in [a,b]}{max}|f^{(i)}(x)|$，$C^k$和$L^{\mathrm{\infty }}$范数等价，也即$\mathrm{\exists }C>0$，使得$||f|{|}_{C^k}\le C\cdot ||f|{|}_{L^{\mathrm{\infty }}}$。由此，我们知道$(C^k,||\cdot |{|}_{C^k})$也是完备、可分的空间。

​ 该定理的重要推论是：对$m>l\ge 0$，$I:(C^m[a,b],L^{\mathrm{\infty }})\to (C^l[a,b],L^{\mathrm{\infty }})$为紧映射

​ $C[a,b]$是$L^p[a,b]$的子空间，但对$1\le p<\mathrm{\infty }$，$(C[a,b],L^p)$不完备，故$C[a,b]$非闭子空间（$C[0,1]$上，考虑$x^n$的极限）

​ $C[a,b]$的对偶表示与测度相关

（Riesz表示定理）：设$K$为紧Hausdorff空间，记$M(K)$为所有有限正则Borel测度的全体，对$f\in C(K),\mu \in M(K)$，定义$⟨f,\mu ⟩=\int fd\mu$，那么$T\mu =⟨\cdot ,\mu ⟩$为$M(K)\to (C(K){)}^{\ast }$的等距同构

​ 根据Riesz表示定理，可简化$C[a,b]$中的弱收敛

在紧Hausdorff空间中，$\{f_n\}\cup \{f_0\}\subseteq C(K)$，$\{f_n\}\stackrel{w}{\to }{f}_0$当且仅当$sup\{||f_n||\}<\mathrm{\infty }$且$\{f_n\}$点态收敛于$f_0$

零散例子

​ 在序列上，也有相应的$l^p$空间

​ 我们较容易得到对偶表示：对$f\in l^p,g\in l^{p^{\prime }}$，定义$⟨f,g⟩=\sum f_i{g}_i$，该求和收敛，定义为良定义

​ 那么按映射$T$为$Tb=⟨\cdot ,b⟩$，可说明$T:l^p\to (l^{p^{\prime }}{)}^{\ast }$为等距同构

​ 唯一的例外便是$l^1$，定义$c_0$为序列极限为$0$的序列，$c_0$为$l^{\mathrm{\infty }}$的闭子空间，并且$T:l^1\to (c_0{)}^{\ast }$为等距同构

​ $l_1$还有如下的特性：

$l_1$中弱收敛和收敛等价